Diciassette argomenti, dal nucleo alla QCD e alla frammentazione degli adroni pesanti. Le unità sono quelle usuali della fisica nucleare (MeV, fm); ħc = 197,327 MeV·fm.

Il nucleo: scale, raggio, densità, spin, momenti

Intuizione

Il nucleo è un oggetto minuscolo e densissimo: contiene più del 99,9% della massa dell'atomo in un volume pari a circa $10^{- 15}$ del volume atomico. Le sue dimensioni sono dell'ordine del femtometro (1 fm $= 10^{- 15}$ m), le sue energie tipiche sono dell'ordine del MeV e i suoi tempi caratteristici sono dell'ordine di $10^{- 23}$ s, cioè il tempo che la luce impiega ad attraversarlo. È un sistema quantistico a molti corpi, tenuto insieme dall'interazione forte residua, e si comporta ora come un gas di fermioni quasi indipendenti, ora come una goccia di liquido, ora come un rotore deformato.

Contesto storico

Nel 1911 Ernest Rutherford, interpretando gli esperimenti di Geiger e Marsden (1909), propose un atomo con un nucleo piccolo e carico. Nel 1932 James Chadwick scoprì il neutrone, e subito Heisenberg e Ivanenko proposero indipendentemente il modello protone–neutrone. Negli anni Cinquanta Robert Hofstadter misurò le dimensioni dei nuclei e del protone con lo scattering elastico di elettroni ad alta energia (premio Nobel 1961). Le proprietà elettromagnetiche statiche furono invece misurate con le tecniche di risonanza magnetica di Rabi, Stern e altri (momento magnetico del protone, 1933, Stern).

Il problema

Gli esperimenti di scattering mostrano che il nucleo ha un raggio finito, che cresce lentamente con il numero di massa, e che la sua densità interna è approssimativamente costante. Occorre quindi definire in modo rigoroso che cosa significa «raggio» di un oggetto con bordo sfumato, e collegare le grandezze misurabili (fattori di forma, momenti) alla distribuzione di materia e di carica.

Definizioni

Notazione. Un nuclide si scrive $_{Z}^{A} X_{N}$ , con $A = Z + N$ numero di massa, $Z$ numero di protoni, $N$ numero di neutroni. Isotopi: stesso $Z$ ; isotoni: stesso $N$ ; isobari: stesso $A$ . Il simbolo chimico X determina già $Z$ , perciò spesso si scrive $^{A} X$ .
Unità. $1 u = 931,494 M e V / c^{2}$ ; $ℏ c = 197,327 M e V f m$ ; $α = e^{2} / (4 π ε_{0} ℏ c) \approx 1 / 137,036$ , quindi $e^{2} / (4 π ε_{0}) = 1,44 M e V f m$ .
Spin nucleare. Il momento angolare totale $\vec{I}$ del nucleo (somma di spin e momenti orbitali dei nucleoni) ha autovalori $I (I + 1) ℏ^{2}$ ; $I$ è intero se $A$ è pari e semintero se $A$ è dispari. La parità $π$ si indica con $I^{π}$ .
Momento magnetico. $μ$ è il valor medio della componente $z$ dell'operatore momento magnetico nello stato $M = I$ , in unità del magnetone nucleare $μ_{N} = e ℏ / 2 m_{p} = 3,1525 \times 10^{- 14} M e V / T$ .
Momento di quadrupolo elettrico spettroscopico. Nello stato $M = I$ ,
$Q = \frac{1}{e} \int ρ_{c} (\vec{r}) (3 z^{2} - r^{2}) d^{3} r,$
misurato in ${f m}^{2}$ (o barn, $1 b = 100 {f m}^{2}$ ). È positivo per distribuzioni allungate (prolate) e negativo per quelle schiacciate (oblate); è nullo se $I = 0$ o $I = 1 / 2$ .

Derivazione: la legge $R = r_{0} A^{1 / 3}$

Se la densità di nucleoni è costante all'interno ( $ρ_{0}$ ) e il nucleo è approssimativamente sferico, il numero di nucleoni è il volume per la densità:

A = ρ_{0} \frac{4}{3} π R^{3} ⟹ R = {(\frac{3}{4 π ρ_{0}})}^{1 / 3} A^{1 / 3} \equiv r_{0} A^{1 / 3} .

Il fatto che $ρ_{0}$ non dipenda da $A$ (saturazione) è la vera informazione fisica; la legge in $A^{1 / 3}$ ne è la conseguenza. Con $r_{0} = 1,2$ fm si ottiene $ρ_{0} = 3 / (4 π r_{0}^{3}) = 0,138 {f m}^{- 3}$ ; la densità di saturazione della materia nucleare infinita simmetrica è invece $ρ_{0} \approx 0,16 {f m}^{- 3}$ (il valore corrispondente $r_{0} \approx 1,14$ fm). La differenza non è una contraddizione: nei nuclei finiti la densità centrale è un poco più bassa e il bordo è diffuso. Ricavo la densità di massa: $0,16 {f m}^{- 3} = 1,6 \times 10^{44} m^{- 3}$ , per $m_{N} = 1,67 \times 10^{- 27}$ kg ottengo $ρ_{m} \approx 2,7 \times 10^{17} k g / m^{3}$ .

Il profilo realistico è una distribuzione di Fermi (o di Woods–Saxon):

ρ (r) = \frac{ρ_{0}}{1 + \exp ⁣ [(r - c) / a]}, a \approx 0,52 f m, t = 4 a \ln 3 \approx 4,4 a \approx 2,3 f m,

dove $c$ è il raggio a metà densità e $t$ lo spessore di pelle (da 90% a 10% di $ρ_{0}$ ). Per una sfera uniforme di raggio $R$ , il raggio quadratico medio è $⟨ r^{2} ⟩ = \frac{3}{5} R^{2}$ .

Fattore di forma e raggio di carica

Nell'approssimazione di Born a un fotone, la sezione d'urto elastica di elettroni su un nucleo è quella di Mott moltiplicata per $∣ F (q) ∣^{2}$ , dove $F$ è la trasformata di Fourier della densità di carica normalizzata:

F (q) = \int ρ_{c} (\vec{r}) e^{i \vec{q} \cdot \vec{r} / ℏ} d^{3} r, F (q) ≃ 1 - \frac{q^{2} ⟨ r^{2} ⟩}{6 ℏ^{2}} + \dots

Per una sfera uniforme $F (q) = 3 (\sin x - x \cos x) / x^{3}$ con $x = q R / ℏ$ , che si annulla la prima volta per $x = 4,493$ : i minimi di diffrazione dicono direttamente il raggio. Il raggio quadratico medio di carica si estrae dalla pendenza a $q \to 0$ .

Valori tipici

Nucleo	Raggio di carica rms (fm)	$R = 1,2 A^{1 / 3}$ (fm)
$^{4}$ He	1,68	1,90
$^{16}$ O	2,70	3,02
$^{40}$ Ca	3,48	4,10
$^{208}$ Pb	5,50	7,11

Il raggio $R$ della tabella è il raggio equivalente della sfera uniforme; per confrontarlo con il raggio rms si usa $R_{e q} = \sqrt{5 / 3} r_{r m s}$ . Per $^{208}$ Pb: $\sqrt{5 / 3} \cdot 5,50 = 7,10$ fm, in accordo con $1,2 A^{1 / 3}$ . Per i nuclei leggeri la legge è meno precisa.

Momenti e spin: che cosa dicono

I nuclei pari–pari hanno sempre $I^{π} = 0^{+}$ nello stato fondamentale: è la manifestazione dell'accoppiamento a coppie (vedi argomenti 2 e 3).
Protone e neutrone hanno $μ_{p} = + 2,7928 μ_{N}$ e $μ_{n} = - 1,9130 μ_{N}$ . Un fermione puntiforme di spin ½ e carica $e$ avrebbe $μ = 1 μ_{N}$ (Dirac) e il neutrone $0$ : la differenza rivela la struttura interna dei nucleoni (argomento 14).
Il deutone ha $I^{π} = 1^{+}$ , $μ_{d} = 0,8574 μ_{N}$ e $Q_{d} = 0,286$ fm $^{2}$ . Un $Q \neq 0$ implica che la distribuzione non è sferica, quindi che la forza nucleare non è puramente centrale (argomento 5).
Per un nucleo deformato assialmente, il quadrupolo intrinseco $Q_{0}$ e quello spettroscopico sono legati da $Q = Q_{0} \frac{3 K^{2} - I (I + 1)}{(I + 1) (2 I + 3)}$ (argomento 4), con $K$ proiezione dello spin sull'asse di simmetria.

Ricorda L'ordine di grandezza della densità è lo stesso per tutti i nuclei, ma il volume è proporzionale ad $A$ , non a $Z$ : la «materia nucleare» è fatta di neutroni e protoni. Le stelle di neutroni hanno densità centrali dell'ordine di qualche $ρ_{0}$ .

Attenzione «Il raggio del nucleo» non è unico. Si distinguono il raggio di carica (misurato con elettroni, muoni o spettroscopia isotopica), il raggio della materia (misurato con sonde forti: protoni, adroni, nuclei) e il parametro $r_{0}$ che li lega: $r_{0} = 1,2$ fm è una media di comodo, non una costante fondamentale. Inoltre $Q$ (spettroscopico) non coincide con $Q_{0}$ (intrinseco).

Esempio svolto: il nucleo di $^{40}$ Ca

Con $r_{0} = 1,2$ fm: $R = 1,2 \cdot 40^{1 / 3} = 1,2 \cdot 3,420 = 4,10$ fm. Il volume è $V = \frac{4}{3} π R^{3} = 4,189 \cdot 69,1 = 289,5 {f m}^{3}$ , quindi $ρ = 40 / 289,5 = 0,138 {f m}^{- 3}$ . In massa: $0,138 \times 10^{45} m^{- 3} \times 1,6605 \times 10^{- 27} k g = 2,3 \times 10^{17} k g / m^{3}$ . Il raggio rms di carica vale $3,48$ fm, quindi $R_{e q} = \sqrt{5 / 3} \cdot 3,48 = 4,49$ fm; il primo minimo del fattore di forma è a $q = 4,493 / 4,49 f m^{- 1} \approx 1,0 f m^{- 1}$ , cioè $ℏ q c \approx 197$ MeV. Con elettroni di 500 MeV, $q = 2 E \sin (θ / 2) / c$ dà $\sin (θ / 2) = 0,197$ , $θ \approx 23^{\circ}$ (stima grossolana: il vero fattore di forma ha minimi meno profondi).

Applicazioni

La spettroscopia isotopica laser misura variazioni di raggio di carica lungo catene di isotopi; la risonanza magnetica nucleare (NMR) e la risonanza di quadrupolo nucleare usano $μ$ e $Q$ come sonde dell'ambiente chimico; la dimensione del nucleo entra nelle correzioni all'atomo di idrogeno muonico (il puzzle del raggio del protone).

Collegamenti

La saturazione richiede forze a corto raggio (argomento 5) e porta al modello a goccia (2). Le proprietà di spin e momento sono la prova principale del modello a shell (3) e dei modelli collettivi (4). La distribuzione di carica dei nucleoni e la loro struttura a quark si studiano con gli stessi metodi di scattering (14).

Domande di verifica

Calcola il raggio di $^{120}$ Sn con $r_{0} = 1,2$ fm e il numero di nucleoni in una sfera di raggio $R$ .
Risposta
$120^{1 / 3} = 4,932$ , quindi $R = 1,2 \cdot 4,932 = 5,92$ fm. Il numero di nucleoni è $A = 120$ per costruzione, e la densità media è $ρ = 3 A / (4 π R^{3}) = 3 \cdot 120 / (4 π \cdot 207,4) = 0,138 f m^{- 3}$ .
Qual è lo spin dello stato fondamentale di $^{12}$ C e perché?
Risposta
$0^{+}$ : è un nucleo pari–pari. I nucleoni dello stesso tipo si accoppiano a coppie con momento angolare totale nullo, e il nucleo risultante ha $I = 0$ e parità positiva.
Quale lunghezza d'onda ridotta $ℏ / p = ℏ c / (p c)$ ha una particella ultrarelativistica con $p c = 100$ MeV?
Risposta
$ℏ / p = ℏ c / (p c) = 197,3 / 100 = 1,97$ fm: per risolvere il nucleo (qualche fm) bastano impulsi dell'ordine di 100 MeV/ $c$ ; per risolvere il nucleone (0,8 fm) servono impulsi di qualche centinaio di MeV/ $c$ .
Un nucleo ha $Q_{0} = + 7,0$ b ed è nello stato $I = 2$ , $K = 0$ . Quanto vale $Q$ spettroscopico?
Risposta
$Q = Q_{0} [3 \cdot 0 - 2 \cdot 3] / [(3) (7)] = Q_{0} \cdot (- 6 / 21) = - \frac{2}{7} Q_{0} = - 2,0$ b: segno opposto al quadrupolo intrinseco, per un rotore prolato con $K = 0$ .

Riassunto

Raggio $R = r_{0} A^{1 / 3}$ con $r_{0} \approx 1,1$ – $1,25$ fm: conseguenza della saturazione, $ρ_{0} \approx 0,16 {f m}^{- 3}$ ( $\approx 2,7 \times 10^{17}$ kg/m $^{3}$ ).
Il profilo reale è di tipo Fermi, con pelle $t \approx 2,3$ fm; il raggio si misura dai fattori di forma.
$μ_{p} = 2,793 μ_{N}$ , $μ_{n} = - 1,913 μ_{N}$ , $Q_{d} = 0,286$ fm $^{2}$ : segni di struttura interna e di forza tensoriale.
I nuclei pari–pari hanno $0^{+}$ ; spin e momenti sono i test dei modelli.

Nel laboratorio: ·

Energia di legame e modello a goccia

Intuizione

La massa di un nucleo è inferiore alla somma delle masse dei suoi nucleoni liberi: la differenza è l'energia che occorre fornire per smontarlo. Poiché il legame per nucleone è quasi costante (circa 8 MeV), il nucleo si comporta come una goccia di liquido incomprimibile: l'energia cresce come il volume, ma i nucleoni di superficie sono meno legati, i protoni si respingono e i neutroni in eccesso costano energia.

Contesto storico

Aston misurò con lo spettrografo di massa (1919–1920) le masse atomiche e osservò che non sono multipli interi di quella dell'idrogeno. Gamow (1930) introdusse l'immagine della goccia; nel 1935 Carl Friedrich von Weizsäcker pubblicò la formula semiempirica della massa, perfezionata da Bethe e Bacher (1936). Il modello fu poi usato da Bohr e Wheeler (1939) per la fissione.

Il problema

Come mai l'energia di legame per nucleone è ~8 MeV per quasi tutti i nuclei, con un massimo vicino al ferro e al nichel, e come mai i nuclei stabili stanno su una stretta «valle» nel piano $(N, Z)$ ?

Definizioni

L'energia di legame di un nucleo con $Z$ protoni e $N$ neutroni è

B (Z, N) = [Z m_{p} + N m_{n} - m_{n u c l e o}] c^{2} = [Z M (^{1} H) + N m_{n} - M (^{A} X)] c^{2},

dove nella seconda forma si usano le masse atomiche (le masse degli elettroni si compensano; si trascura il legame atomico, dell'ordine di 10 eV–100 keV, trascurabile). Si definisce l'energia di legame per nucleone $B / A$ e l'energia di separazione di un neutrone $S_{n} = B (Z, N) - B (Z, N - 1)$ .

Derivazione della formula di Weizsäcker

Si scrive $B$ come somma di termini, ciascuno motivato da una proprietà del liquido:

Volume. Ogni nucleone interagisce solo con i vicini (saturazione). Il legame è proporzionale al numero di nucleoni: $B_{V} = a_{V} A$ .
Superficie. I nucleoni sulla superficie hanno meno vicini. Il numero di nucleoni di superficie è proporzionale all'area $4 π R^{2} \propto A^{2 / 3}$ , quindi $B_{S} = - a_{S} A^{2 / 3}$ . È l'analogo della tensione superficiale: $a_{S} = 4 π r_{0}^{2} σ$ .
Coulomb. Energia elettrostatica di una sfera uniformemente carica: $E_{C} = \frac{3}{5} \frac{Z^{2} e^{2}}{4 π ε_{0} R} = \frac{3}{5} \frac{1,44 M e V f m}{r_{0}} \frac{Z^{2}}{A^{1 / 3}}$ . Con $r_{0} = 1,2$ fm, il coefficiente è $0,6 \cdot 1,44 / 1,2 = 0,72$ MeV. Correggendo per l'autointerazione si sostituisce $Z^{2} \to Z (Z - 1)$ : $B_{C} = - a_{C} Z (Z - 1) / A^{1 / 3}$ .
Asimmetria. Il principio di Pauli impone che neutroni e protoni occupino livelli distinti. Per un gas di Fermi di $N$ neutroni e $Z$ protoni in volume $V \propto A$ , l'energia cinetica è $E = \frac{3}{5} (N ε_{F n} + Z ε_{F p})$ con $ε_{F} \propto (N / V)^{2 / 3}$ o $(Z / V)^{2 / 3}$ , quindi $E \propto N^{5 / 3} + Z^{5 / 3}$ . Posto $τ = (N - Z) / A$ , si ha $N = \frac{A}{2} (1 + τ)$ , $Z = \frac{A}{2} (1 - τ)$ , e sviluppando al secondo ordine $(1 + τ)^{5 / 3} + (1 - τ)^{5 / 3} ≃ 2 + \frac{10}{9} τ^{2}$ . Allora
$E = \frac{3}{5} ε_{F}^{(0)} A [1 + \frac{5}{9} τ^{2}] ⟹ Δ E = \frac{ε_{F}^{(0)}}{3} \frac{(N - Z)^{2}}{A},$
con $ε_{F}^{(0)}$ l'energia di Fermi della materia simmetrica. Dalla densità $ρ_{0} = 0,16 f m^{- 3}$ : $k_{F} = (3 π^{2} ρ_{0} / 2)^{1 / 3} = 1,33 f m^{- 1}$ , $ε_{F}^{(0)} = ℏ^{2} k_{F}^{2} / 2 m_{N} = 36,9$ MeV, da cui $ε_{F}^{(0)} / 3 \approx 12$ MeV. Il valore sperimentale ( $a_{A} \approx 23$ MeV) è circa il doppio: il resto viene dalla parte potenziale dell'interazione (energia di simmetria). Il termine cinetico è dunque solo metà dell'effetto.
Appaiamento. Le coppie di nucleoni identici accoppiate a $J = 0$ sono più legate. Si pone $δ = + a_{P} A^{- 1 / 2}$ per nuclei pari–pari, $0$ per $A$ dispari, $- a_{P} A^{- 1 / 2}$ per dispari–dispari (la dipendenza $A^{- 1 / 2}$ è una parametrizzazione empirica; si trova anche $A^{- 3 / 4}$ ).

Il risultato è

B (Z, A) = a_{V} A - a_{S} A^{2 / 3} - a_{C} \frac{Z (Z - 1)}{A^{1 / 3}} - a_{A} \frac{(A - 2 Z)^{2}}{A} + δ (A, Z) .

Coefficiente	Valore tipico (MeV)	Origine
$a_{V}$	15,5–16	volume
$a_{S}$	17–18,5	superficie
$a_{C}$	0,71	Coulomb (stima 0,72)
$a_{A}$	23–23,7	asimmetria
$a_{P}$	11–12	appaiamento

I valori variano di qualche percento tra le diverse raccolte, perché sono parametri di un fit su un insieme di nuclei: quelli usati qui sono i valori di una parametrizzazione comune nei libri di testo ( $a_{V} = 15,75$ , $a_{S} = 17,8$ , $a_{C} = 0,711$ , $a_{A} = 23,7$ , $a_{P} = 11,18$ MeV). Non vanno scambiati tra raccolte diverse senza ricalcolare il fit.

Interpretazione: la curva $B / A$ e la valle di stabilità

Per $A$ piccolo domina la superficie ( $\propto A^{- 1 / 3}$ rispetto al volume), per $A$ grande domina il Coulomb ( $\propto Z^{2} / A^{4 / 3}$ ). Il massimo di $B / A$ è a $A \approx 60$ : il massimo assoluto è $^{62}$ Ni (8,795 MeV), seguito da $^{58}$ Fe e $^{56}$ Fe (8,790 MeV). Il ferro-56 è spesso citato come «il più stabile» ma il massimo vero è nel nichel-62. La fusione di nuclei leggeri e la fissione di nuclei pesanti liberano energia perché portano entrambe verso il massimo.

Per $A$ fissato, la massa è una parabola in $Z$ . Minimizzando $M (A, Z) = Z m_{p} + (A - Z) m_{n} - B / c^{2}$ rispetto a $Z$ (il termine di appaiamento è un effetto a parte) si trova

Z_{0} = \frac{A}{2} \frac{1 + \frac{(m_{n} - m_{p}) c^{2}}{4 a_{A}}}{1 + \frac{a_{C}}{4 a_{A}} A^{2 / 3}} .

Senza Coulomb e con $m_{n} = m_{p}$ si ha $Z_{0} = A / 2$ ( $N = Z$ ); il Coulomb sposta $Z_{0}$ sotto $A / 2$ e fa crescere l'eccesso di neutroni con $A$ . I nuclei lontani da $Z_{0}$ decadono $β$ ; con il termine di appaiamento per $A$ pari le isobare si dispongono su due parabole (pari–pari più legati), e possono esistere due o tre isobari stabili.

Ricorda Il modello a goccia non conosce le shell: sbaglia l'energia di legame fino a qualche MeV sui nuclei magici (dove quelli reali sono più legati) e per quelli deformati. Le deviazioni dalla formula sono la «energia di shell».

Attenzione Si lavora con le masse atomiche, non nucleari, nei bilanci di decadimento; per il $β^{+}$ vanno sottratte due masse elettroniche. Inoltre $B / A$ è energia di legame per nucleone, mentre l'energia liberata in una reazione è la differenza di $B$ totali.

Esempio svolto: $^{56}$ Fe ( $Z = 26$ , $A = 56$ )

Con i coefficienti sopra: $A^{1 / 3} = 3,826$ , $A^{2 / 3} = 14,64$ .

Volume: $15,75 \cdot 56 = 882,0$ MeV.
Superficie: $- 17,8 \cdot 14,64 = - 260,6$ MeV.
Coulomb: $- 0,711 \cdot 26 \cdot 25 / 3,826 = - 120,8$ MeV.
Asimmetria: $- 23,7 \cdot (56 - 52)^{2} / 56 = - 6,8$ MeV.
Appaiamento (pari–pari): $+ 11,18 / \sqrt{56} = + 1,5$ MeV.

Somma: $B = 495,3$ MeV, quindi $B / A = 8,84$ MeV. Il valore sperimentale è $492,26$ MeV ( $8,7903$ MeV/nucleone, AME2020): la formula è corretta a meno dell'1%.

Applicazioni

La formula fornisce le masse dove non sono misurate (stima della drip line e dei nuclei del processo r), l'energia delle reazioni, la stabilità rispetto a $β$ e $α$ , e la teoria della fissione (argomento 11). La stima di $B$ dell'ultimo neutrone fissa il confine dei nuclei legati.

Collegamenti

Da $a_{A}$ e $a_{C}$ dipende la forma della valle (argomento 6 per i decadimenti, 8 per i $β$ ); il termine di appaiamento è l'anticipazione della superfluidità trattata nel modello a shell e nei modelli collettivi (3, 4); la formula con la deformazione è il punto di partenza della fissione (11).

Domande di verifica

Calcola $Z_{0}$ per $A = 125$ e confrontalo con gli isobari stabili.
Risposta
$A^{2 / 3} = 25$ . Numeratore: $\frac{125}{2} (1 + \frac{1,293}{94,8}) = 62,5 \cdot 1,0136 = 63,35$ . Denominatore: $1 + \frac{0,711 \cdot 25}{94,8} = 1,1875$ . Quindi $Z_{0} = 53,3$ . L'isobaro stabile di $A = 125$ è $^{125}$ Te ( $Z = 52$ ); $^{125}$ I ( $Z = 53$ ) e $^{125}$ Xe ( $Z = 54$ ) sono radioattivi.
Stima l'energia liberata nella fissione di $^{236}$ U in due frammenti simmetrici di $A = 118$ , sapendo che $B / A \approx 7,6$ MeV per $A = 236$ e $B / A \approx 8,5$ MeV per $A \approx 118$ .
Risposta
$Q \approx 236 (8,5 - 7,6) \approx 212$ MeV: l'ordine di grandezza dei circa 200 MeV per fissione (valori di $B / A$ arrotondati; con i valori AME2020 più precisi, $7,59$ e $8,52$ MeV, si otterrebbe circa $220$ MeV). Il guadagno viene dal fatto che i frammenti stanno più vicini al massimo di $B / A$ .
Calcola la correzione cinetica di asimmetria $ε_{F}^{(0)} / 3$ per $ρ_{0} = 0,16 f m^{- 3}$ .
Risposta
$k_{F} = (3 π^{2} \cdot 0,16 / 2)^{1 / 3} = (2,369)^{1 / 3} = 1,333 f m^{- 1}$ . $ε_{F} = (ℏ c)^{2} k_{F}^{2} / (2 m_{N} c^{2}) = 38 938 \cdot 1,777 / 1877,8 = 36,9$ MeV. Quindi $ε_{F} / 3 = 12,3$ MeV, circa metà di $a_{A}$ .
Stima l'energia di Coulomb per $^{208}$ Pb con $a_{C} = 0,711$ .
Risposta
$A^{1 / 3} = 5,925$ : $E_{C} = 0,711 \cdot 82 \cdot 81 / 5,925 = 797$ MeV, pari a circa 3,8 MeV per nucleone: confrontabile con $a_{V}$ meno la superficie. È la ragione per cui i nuclei pesanti sono poco stabili.

Riassunto

$B = a_{V} A - a_{S} A^{2 / 3} - a_{C} Z (Z - 1) A^{- 1 / 3} - a_{A} (A - 2 Z)^{2} / A + δ$ .
Ogni termine ha una derivazione fisica: saturazione, superficie, carica uniforme, principio di Pauli, appaiamento.
$B / A$ ha il massimo vicino a $A \approx 60$ ( $^{62}$ Ni); la valle di stabilità è $Z_{0} (A)$ della parabola.
I coefficienti sono parametri di fit e variano di qualche percento tra le fonti.

Nel laboratorio: ·

Il modello a shell

Intuizione

Come gli elettroni in un atomo riempiono gusci successivi e danno gli elementi particolarmente stabili (i gas nobili), anche i nucleoni riempiono livelli in un potenziale medio, e i nuclei con certi numeri di protoni o neutroni sono eccezionalmente stabili. Il paradosso è che il nucleo è molto più denso dell'atomo e un nucleone collide con gli altri costantemente: il principio di Pauli però blocca la maggior parte delle collisioni, perché gli stati finali sono già occupati, e rende sensata l'immagine di nucleoni quasi indipendenti.

Contesto storico

Già Elsasser (1933–34) notò che alcuni numeri di nucleoni sono speciali. Le evidenze si accumularono: nuclei con $Z$ o $N$ pari a 2, 8, 20, 28, 50, 82 e $N = 126$ hanno più isotopi o isotoni stabili, energie di separazione più alte e sezioni d'urto di cattura neutronica più basse. Nel 1949 Maria Goeppert Mayer e, indipendentemente, Otto Haxel, J. Hans D. Jensen e Hans Suess mostrarono che un forte accoppiamento spin–orbita riproduce tutti i numeri magici. Goeppert Mayer e Jensen ricevettero il Nobel nel 1963 (insieme a Wigner).

Il problema

Un potenziale medio solo centrale, per esempio l'oscillatore armonico, riproduce solo i primi tre numeri (2, 8, 20) e poi dà 40, 70, 112. Perché i dati danno 28, 50, 82, 126?

Definizioni e derivazione

Oscillatore armonico. Per $V = \frac{1}{2} m ω^{2} r^{2}$ i livelli sono $E_{N} = ℏ ω (N + \frac{3}{2})$ con $N = 2 (n - 1) + l$ , e degenerazione (con lo spin) $(N + 1) (N + 2)$ . I gusci chiusi sono quindi

\sum_{N = 0}^{N_{\max}} (N + 1) (N + 2) = 2, 8, 20, 40, 70, 112, \dots

Per i nuclei una stima usuale è

ℏ ω \approx 41 A^{- 1 / 3}

MeV.

Woods–Saxon. Il potenziale più realistico segue la densità di materia,

V (r) = - \frac{V_{0}}{1 + \exp [(r - R) / a]}, V_{0} \approx 50 M e V, a \approx 0,5 – 0,65 f m .

Rispetto all'oscillatore, il potenziale è più «piatto» all'interno e abbassa i livelli ad alto $l$ (che hanno funzioni d'onda vicine alla superficie), ma da solo non riproduce ancora i numeri magici.

Spin–orbita. Si aggiunge un termine $V_{l s} (r) \vec{l} \cdot \vec{s}$ con $V_{l s} \propto \frac{1}{r} \frac{d V}{d r}$ negativo nel nostro segno (cioè lo stato con $\vec{j} = \vec{l} + \vec{s}$ è più legato). Con $\vec{j} = \vec{l} + \vec{s}$ :

\vec{l} \cdot \vec{s} = \frac{1}{2} [j (j + 1) - l (l + 1) - \frac{3}{4}] = {\begin{cases} + l / 2 & j = l + \frac{1}{2} \\ - (l + 1) / 2 & j = l - \frac{1}{2} \end{cases}

La separazione dei due livelli è quindi proporzionale a $(2 l + 1) / 2$ : cresce con $l$ . È un effetto «grande» (di qualche MeV già per $l = 3$ ) e opposto a quello atomico (nucleare: il livello con $j$ massimo è il più basso). I livelli ad alto $l$ e $j = l + \frac{1}{2}$ scendono nel guscio sottostante e creano i nuovi gap.

Livelli (ordine indicativo)	Capacità	Totale (numero magico)
$1 s_{1 / 2}$	2	2
$1 p_{3 / 2}, 1 p_{1 / 2}$	4+2	8
$1 d_{5 / 2}, 2 s_{1 / 2}, 1 d_{3 / 2}$	6+2+4	20
$1 f_{7 / 2}$	8	28
$2 p_{3 / 2}, 1 f_{5 / 2}, 2 p_{1 / 2}, 1 g_{9 / 2}$	4+6+2+10	50
$1 g_{7 / 2}, 2 d_{5 / 2}, 1 h_{11 / 2}, 2 d_{3 / 2}, 3 s_{1 / 2}$	8+6+12+4+2	82
$2 f_{7 / 2}, 1 h_{9 / 2}, 2 f_{5 / 2}, 3 p_{3 / 2}, 3 p_{1 / 2}, 1 i_{13 / 2}$	8+10+6+4+2+14	126

L'ordine dentro ciascun guscio (soprattutto sopra $N = 50$ ) dipende dal nucleo, dal tipo di nucleone e dall'isospin: la tabella indica la sequenza comune, non una legge.

Interpretazione: spin, parità e momenti dello stato fondamentale

Regole del modello a particella singola:

Nucleoni accoppiati a coppie nello stesso orbitale danno $J = 0$ e parità $+$ .
Nucleo con un nucleone («particella») fuori da shell chiusa, o con una lacuna («buca») in una shell piena: $J^{π} = j^{(- 1)^{l}}$ dell'orbitale dell'ultimo nucleone spaiato.

Esempi: $^{17}$ O ha 9 neutroni, con il nono in $1 d_{5 / 2}$ : $5 / 2^{+}$ (osservato). $^{41}$ Ca (21° neutrone) $\to 1 f_{7 / 2}$ : $7 / 2^{-}$ . $^{15}$ N ( $Z = 7$ , una buca in $1 p_{1 / 2}$ ): $1 / 2^{-}$ . $^{39}$ K (una buca in $1 d_{3 / 2}$ ): $3 / 2^{+}$ . $^{209}$ Bi (83° protone in $1 h_{9 / 2}$ ): $9 / 2^{-}$ .

I momenti di Schmidt sono il valore previsto per la particella singola: con $g_{l}$ e $g_{s}$ del nucleone libero ( $g_{l} = 1, g_{s} = 5,586$ per il protone; $g_{l} = 0, g_{s} = - 3,826$ per il neutrone),

μ = {\begin{cases} [(j - \frac{1}{2}) g_{l} + \frac{1}{2} g_{s}] μ_{N} & j = l + \frac{1}{2} \\ \frac{j}{j + 1} [(j + \frac{3}{2}) g_{l} - \frac{1}{2} g_{s}] μ_{N} & j = l - \frac{1}{2} \end{cases}

Per $^{17}$ O (neutrone in $1 d_{5 / 2}$ ): $μ = g_{s} / 2 = - 1,913 μ_{N}$ ; osservato $- 1,894 μ_{N}$ . Per $^{209}$ Bi (protone in $1 h_{9 / 2}$ ): $μ = \frac{9 / 2}{11 / 2} (6 - 2,793) = 2,62 μ_{N}$ contro il valore misurato di circa $4,1 μ_{N}$ : lo scarto indica correzioni di polarizzazione del core e correnti di scambio.

Limiti

Lontano dalle chiusure i nucleoni di valenza interagiscono: si usa il modello a shell con interazione residua (diagonalizzazione in uno spazio di valenza), che reproduce molto bene i nuclei leggeri e medi.
Per nuclei deformati lo spazio non è sferico (argomento 4, orbitali di Nilsson).
Nei nuclei esotici le chiusure di shell cambiano: la rottura di $N = 8$ e $N = 20$ in $^{11}$ Li e $^{32}$ Mg («isola di inversione»), la comparsa di $N = 32$ e $N = 34$ nel calcio. Il potenziale medio dipende da $N / Z$ per via del tensore e delle forze a tre corpi (argomento 5).
Il modello dà bene lo spin ma per i momenti non basta: servono «cariche efficaci».

Ricorda Nuclei doppiamente magici: $^{4}$ He, $^{16}$ O, $^{40}$ Ca, $^{48}$ Ca, $^{56}$ Ni, $^{100}$ Sn, $^{132}$ Sn, $^{208}$ Pb. Essi sono sferici, hanno il primo livello eccitato alto in energia ( $^{208}$ Pb: $3^{-}$ a 2,6 MeV) e piccola sezione d'urto di cattura.

Attenzione Il segno dello spin–orbita nucleare è opposto a quello atomico, e la separazione cresce con $l$ . Inoltre i numeri magici dei neutroni e dei protoni coincidono fino a 50 ma poi la sequenza dei livelli (per esempio sopra 82) è diversa: per i protoni sopra 82 non è osservata una chiusura a 126 (nessun nucleo noto con $Z = 126$ ).

Esempio svolto: separazione spin–orbita

Per $l = 3$ ( $f$ ): $j = \frac{7}{2}$ dà $\vec{l} \cdot \vec{s} = \frac{1}{2} [\frac{63}{4} - 12 - \frac{3}{4}] = + 1,5$ ; $j = \frac{5}{2}$ dà $\frac{1}{2} [\frac{35}{4} - 12 - \frac{3}{4}] = - 2$ . La differenza è $3,5 = (2 l + 1) / 2$ . Se $⟨ V_{l s} ⟩$ fosse lo stesso per tutti gli orbitali, il rapporto tra le separazioni di $d$ ( $l = 2$ ), $f$ ( $l = 3$ ) e $g$ ( $l = 4$ ) sarebbe $2,5 : 3,5 : 4,5$ . Quindi, se la separazione $f_{7 / 2}$ – $f_{5 / 2}$ vale circa 6 MeV, quella $d_{5 / 2}$ – $d_{3 / 2}$ è circa $6 \cdot 2,5 / 3,5 \approx 4,3$ MeV (stima indicativa: in realtà $⟨ V_{l s} ⟩$ varia con l'orbitale).

Applicazioni

Spin e parità degli stati fondamentali, regole di selezione di $β$ e $γ$ (argomenti 8, 9), reazioni di trasferimento (d,p) che popolano gli stati di particella singola, stabilità dei nuclei superpesanti («isola di stabilità»), scelta dei bersagli doppiamente magici nelle ricerche di nuova fisica.

Collegamenti

Il potenziale medio è la versione quantistica della densità di saturazione (1) e della goccia (2); i modelli collettivi (4) completano il quadro; per l'interazione effettiva si veda la forza nucleare (5).

Domande di verifica

Prevedi lo spin–parità di $^{19}$ F (9 protoni, 10 neutroni) con il modello a particella singola.
Risposta
Il nono protone occupa $1 d_{5 / 2}$ , ma in $^{19}$ F lo stato fondamentale osservato è $1 / 2^{+}$ , non $5 / 2^{+}$ (il primo stato $5 / 2^{+}$ è a 0,197 MeV): è un esempio di fallimento del modello nella regione di nuclei deformati (la shell sd a metà riempimento).
Quanti nucleoni stanno in $1 g_{9 / 2}$ e quanto vale la capacità totale fino al gap 50?
Risposta
$2 j + 1 = 10$ nucleoni. Capacità cumulata: $1 s$ : 2; $1 p$ : 6; $1 d 2 s$ : 12; $1 f 2 p$ : 20; $1 g_{9 / 2}$ : 10, totale $2 + 6 + 12 + 20 + 10 = 50$ .
Calcola il momento di Schmidt di $^{41}$ Ca (neutrone in $1 f_{7 / 2}$ ).
Risposta
$j = l + \frac{1}{2}$ , quindi $μ = [(j - \frac{1}{2}) g_{l} + \frac{1}{2} g_{s}] μ_{N} = [0 + \frac{1}{2} (- 3,826)] = - 1,913 μ_{N}$ (misurato circa $- 1,59 μ_{N}$ ).
Quante particelle possono occupare i livelli dell'oscillatore armonico fino a $N = 3$ ?
Risposta
$\sum (N + 1) (N + 2) = 2 + 6 + 12 + 20 = 40$ (il fattore 2 della degenerazione di spin è già incluso). I gusci chiusi sono 2, 8, 20, 40.

Riassunto

Nucleoni quasi indipendenti in un potenziale medio (Woods–Saxon) grazie al principio di Pauli.
L'oscillatore dà 2, 8, 20, 40, 70, 112; lo spin–orbita (negativo, $\propto l$ ) li trasforma in 2, 8, 20, 28, 50, 82, 126.
Spin–parità dello stato fondamentale: quella dell'ultimo nucleone o buca; momenti di Schmidt come riferimento.
Limiti: nuclei deformati, esotici, correlazioni residue.

Nel laboratorio: ·

Modelli collettivi: vibrazioni, rotazioni, risonanze giganti

Intuizione

Molti nuclei hanno livelli eccitati a bassa energia che non sono eccitazioni di un singolo nucleone, ma moti coerenti di molti nucleoni: la superficie vibra come quella di una goccia, oppure il nucleo ruota rigidamente come una trottola deformata. Queste modalità collettive sono visibili come sequenze regolari di livelli e come transizioni elettromagnetiche molto più veloci di quelle di singola particella.

Contesto storico

James Rainwater (1950) osservò che alcuni nuclei devono essere deformati per spiegare i grandi momenti di quadrupolo. Aage Bohr (1952) e Bohr–Mottelson (1953) costruirono il modello unificato, che combina il moto collettivo con quello di particella singola; Rainwater, Bohr e Mottelson ricevettero il Nobel nel 1975. Sven Gösta Nilsson (1955) calcolò i livelli di particella singola in un potenziale deformato. La risonanza dipolare gigante fu osservata da Baldwin e Klaiber (1947) nella fotofissione e interpretata da Goldhaber–Teller (1948) e Steinwedel–Jensen (1950).

Il problema

Lo spettro del modello a shell sferico non spiega perché i nuclei lontani dalle shell chiuse (terre rare, attinidi, regioni $A \approx 100$ e $A \approx 25$ ) abbiano quadrupoli enormi, bande di livelli con energia $\propto J (J + 1)$ e probabilità di transizione $E 2$ di decine di unità di Weisskopf (argomento 9).

Definizioni e derivazione

Parametrizzazione della superficie. Un nucleo di forma qualsiasi si descrive con il raggio

R (θ, φ) = R_{0} [1 + \sum_{λ μ} α_{λ μ} Y_{λ μ}^{*} (θ, φ)], R_{0} = r_{0} A^{1 / 3} .

Per $λ = 2$ si ha il quadrupolo; per un nucleo assialmente simmetrico rimane il solo parametro $β_{2} \equiv α_{20}$ (il parametro di deformazione quadrupolare): $β_{2} > 0$ è un ellissoide prolato (a sigaro), $β_{2} < 0$ oblato (a disco).

Vibrazioni. Per piccole oscillazioni attorno alla sfera l'hamiltoniana è quella di oscillatori armonici per ciascun $α_{λ μ}$ ,

H = \sum_{λ μ} [\frac{1}{2} B_{λ} ∣ {\dot{α}}_{λ μ} ∣^{2} + \frac{1}{2} C_{λ} ∣ α_{λ μ} ∣^{2}], ℏ ω_{λ} = ℏ \sqrt{C_{λ} / B_{λ}},

con $C_{λ}$ la rigidità (dalla superficie e dal Coulomb della goccia) e $B_{λ}$ il parametro di massa. I quanti sono i fononi di spin $λ$ : un fonone quadrupolare ha $J^{π} = 2^{+}$ ; due fononi danno il tripletto $0^{+}, 2^{+}, 4^{+}$ a energia $2 ℏ ω$ . Tipiche signature: rapporto $E (4_{1}^{+}) / E (2_{1}^{+}) \approx 2$ e $B (E 2; 4 \to 2) \approx 2 B (E 2; 2 \to 0)$ . Il fonone ottupolare ( $λ = 3$ ) ha $J^{π} = 3^{-}$ : nel $^{208}$ Pb è a $2,61$ MeV.

Rotazioni. Un nucleo deformato non ha un asse di simmetria sferica: ha energia cinetica rotazionale ${\hat{J}}^{2} / 2 J$ (con $J$ il momento d'inerzia intorno a un asse perpendicolare alla simmetria). Quantizzando il momento angolare ( ${\hat{J}}^{2} \to J (J + 1) ℏ^{2}$ ):

E_{J} = \frac{ℏ^{2}}{2 J} J (J + 1) .

Per una banda con $K = 0$ (proiezione del momento angolare sull'asse nulla), la simmetria sotto rotazione di $π$ intorno a un asse perpendicolare impone solo $J = 0, 2, 4, \dots$ I rapporti energia sono quindi fissati:

\frac{E (4^{+})}{E (2^{+})} = \frac{20}{6} = \frac{10}{3} = 3,33, \frac{E (6^{+})}{E (2^{+})} = 7.

Il vibratore ha rapporto 2 e il rotore 3,33: il rapporto $R_{4 / 2}$ è il primo discriminante dello spettro collettivo. Le transizioni $E 2$ entro la banda soddisfano

B (E 2; J_{i} K \to J_{f} K) = \frac{5}{16 π} e^{2} Q_{0}^{2} ⟨ J_{i} K 20 ∣ J_{f} K ⟩^{2}, Q_{0} = \frac{3}{\sqrt{5 π}} Z R_{0}^{2} β_{2} (1 + 0,16 β_{2} + \dots)

dove $Q_{0}$ è il quadrupolo intrinseco di una distribuzione di carica uniforme. Il coefficiente $3 / \sqrt{5 π}$ vale $0,757$ ; il termine $0,16 β_{2}$ è una correzione di ordine superiore che conta per $β_{2} ≳ 0,3$ . Il segno di $Q_{0}$ è quello di $β_{2}$ .

Momento d'inerzia. Se il nucleo ruotasse come un corpo rigido: $J_{r i g} = \frac{2}{5} A m R_{0}^{2} (1 + 0,31 β_{2} + \dots)$ , con $m$ massa del nucleone. Se fosse un fluido irrotazionale: $J_{i r r} \propto β_{2}^{2}$ , molto più piccolo. I valori misurati sono intermedi: $0,3$ – $0,7 J_{r i g}$ . La spiegazione è l'appaiamento (superfluidità nucleare): non tutti i nucleoni partecipano alla rotazione. Ad alti spin il momento d'inerzia aumenta bruscamente (backbending) quando una coppia viene rotta dalla forza di Coriolis.

Orbitali di Nilsson. Si pone un nucleone in un oscillatore anisotropo,

H = \frac{p^{2}}{2 m} + \frac{1}{2} m [ω_{⊥}^{2} (x^{2} + y^{2}) + ω_{z}^{2} z^{2}] + C \vec{l} \cdot \vec{s} + D {\vec{l}}^{2},

con $ω_{z} = ω_{0} (1 - \frac{2}{3} δ)$ , $ω_{⊥} = ω_{0} (1 + \frac{1}{3} δ)$ (volume costante al primo ordine) e $δ ≃ 0,95 β_{2}$ . Poiché ${\hat{j}}^{2}$ non commuta più con $H$ , i buoni numeri quantici sono la proiezione $Ω = Λ + Σ$ di $\vec{j}$ sull'asse e la parità, e si scrive $Ω^{π} [N n_{z} Λ]$ . Ogni livello è doppiamente degenere ( $\pm Ω$ ). Per $δ > 0$ i livelli con $n_{z}$ grande scendono (orbitali allungati lungo l'asse) e quelli con $n_{z}$ piccolo salgono, e i livelli con lo stesso $Ω$ si evitano (non si incrociano). Il diagramma di Nilsson spiega spin e parità dello stato fondamentale dei nuclei deformati con dispari $A$ (il nucleone spaiato occupa l'orbitale $Ω^{π}$ di energia più bassa libero, e $K = Ω$ ).

Risonanza dipolare gigante (GDR). È un'oscillazione di tutti i protoni contro tutti i neutroni, eccitata dai fotoni ( $E 1$ ). Il modello di Goldhaber–Teller (fluidi che si compenetrano) e quello di Steinwedel–Jensen (variazione della densità dentro una sfera fissa) predicono una posizione $E_{G D R} \propto A^{- 1 / 6}$ e $\propto A^{- 1 / 3}$ rispettivamente; la combinazione empirica è

E_{G D R} ≃ 31,2 A^{- 1 / 3} + 20,6 A^{- 1 / 6} M e V (formula empirica), \int σ_{γ} d E ≃ 60 \frac{N Z}{A} M e V m b (regola di somma TRK),

con larghezza di alcuni MeV. Nei nuclei deformati la GDR si divide in due picchi, corrispondenti alle oscillazioni lungo l'asse corto e quello lungo: la separazione è una misura diretta della deformazione.

Interpretazione fisica

Vibratore e rotore sono i due limiti del moto collettivo; i nuclei di transizione hanno spettri intermedi (modelli $γ$ -instabili, $X (5)$ , interacting boson model di Arima e Iachello). Il moto di rotazione è lento rispetto a quello intrinseco dei nucleoni (adiabatico), quindi la struttura intrinseca è la stessa per tutti gli stati di una banda.

Ricorda Per un rotore con $K = 0$ : $E_{γ} (J \to J - 2) = \frac{ℏ^{2}}{2 J} (4 J - 2)$ , e le energie dei raggi gamma di una banda sono equispaziate: è il modo più rapido per riconoscere una banda rotazionale in uno spettro.

Attenzione Non confondere $β_{2}$ (parametro di forma della superficie) con il $β$ della velocità o del decadimento. Il segno e il valore di $β_{2}$ dipendono dalla definizione (raggio della superficie o distribuzione di carica); $Q_{0}$ misura la deformazione della carica, non della materia. Le formule di $Q_{0}$ valgono solo nel limite di piccole deformazioni.

Esempio svolto: $^{238}$ U

Il primo livello $2^{+}$ è a $44,9$ keV. Allora $ℏ^{2} / 2 J = 44,9 / 6 = 7,48$ keV. Previsioni: $E (4^{+}) = 7,48 \cdot 20 = 149,7$ keV (osservato 148,4 keV) e $E (6^{+}) = 7,48 \cdot 42 = 314$ keV (osservato 307 keV). Il leggero scarto è l'aumento di $J$ con lo spin. In unità di $ℏ^{2}$ : $J / ℏ^{2} = 1 / (2 \cdot 7,48 \times 10^{- 3} M e V) = 66,8 M e V^{- 1}$ . Il valore rigido: $R_{0} = 1,2 \cdot 238^{1 / 3} = 7,44$ fm, quindi $ℏ^{2} / 2 J_{r i g} = \frac{(ℏ c)^{2}}{2 \cdot \frac{2}{5} A m c^{2} R_{0}^{2}} = \frac{38 938}{0,8 \cdot 221 700 \cdot 55,3} M e V = 4,0$ keV (trascurando il fattore $(1 + 0,31 β_{2})$ ). Il rapporto $J_{e x p} / J_{r i g} \approx 4,0 / 7,48 = 0,53$ . Con $β_{2} \approx 0,286$ (Raman et al., 2001) si ha $Q_{0} = 0,757 \cdot 92 \cdot 55,3 \cdot 0,286 = 1101 f m^{2} ≃ 11,0$ b e $B (E 2; 0 \to 2) ≃ \frac{5}{16 π} (11,0)^{2} e^{2} b^{2} ≃ 12,0 e^{2} b^{2}$ , in buon accordo con il valore sperimentale $12,09 e^{2} b^{2}$ .

Applicazioni

Il modello unificato fornisce spin, parità e momenti dei nuclei deformati; le bande rotazionali sono il banco di prova della spettroscopia gamma ad alto spin (rivelatori AGATA, GRETINA); la GDR determina le sezioni d'urto di fotodisintegrazione, rilevanti per l'astrofisica (p-process) e per i raggi cosmici di altissima energia (fotodisintegrazione dei nuclei sul fondo cosmico).

Collegamenti

La deformazione nasce dalla competizione tra shell (3) e goccia (2); la barriera di fissione (11) è la stessa superficie di energia nel limite di grandi deformazioni; i tempi di vita delle transizioni $E 2$ (9) sono l'osservabile.

Domande di verifica

Un nucleo ha $E (2^{+}) = 0,56$ MeV e $E (4^{+}) = 1,28$ MeV. Vibratore o rotore?
Risposta
$R_{4 / 2} = 1,28 / 0,56 = 2,29$ : più vicino a 2 che a 3,33, quindi vibratore anarmonico. Per un rotore avremmo $E (4^{+}) = 1,87$ MeV.
Un rotore ha $E (2^{+}) = 100$ keV. Quanto vale $E_{γ} (4 \to 2)$ ?
Risposta
$ℏ^{2} / 2 J = 100 / 6 = 16,7$ keV. $E (4) = 16,7 \cdot 20 = 333$ keV. $E_{γ} (4 \to 2) = 333 - 100 = 233$ keV, oppure $16,7 \cdot (4 \cdot 4 - 2) = 233$ keV.
Stima la posizione della GDR in $^{208}$ Pb con $E = 31,2 A^{- 1 / 3} + 20,6 A^{- 1 / 6}$ .
Risposta
$A^{- 1 / 3} = 0,1688$ , $A^{- 1 / 6} = 0,4108$ , quindi $E = 5,27 + 8,46 = 13,7$ MeV. Valore misurato $\approx 13,5$ MeV.
Calcola la regola di somma TRK per $^{208}$ Pb.
Risposta
$60 \cdot 126 \cdot 82 / 208 = 2980 M e V m b \approx 3,0 M e V b$ . Con $E_{G D R} \approx 13,5$ MeV e larghezza di $\approx 4$ MeV, la sezione d'urto di picco è dell'ordine di $0,6$ b.

Riassunto

La superficie nucleare è descritta da $α_{λ μ}$ ; per un nucleo assiale basta $β_{2}$ .
Vibratore: $R_{4 / 2} \approx 2$ ; rotore: $E_{J} \propto J (J + 1)$ e $R_{4 / 2} = 10 / 3$ .
$J$ è tra rigido e irrotazionale, per effetto dell'appaiamento.
Nilsson: livelli in un oscillatore deformato con numeri $Ω^{π} [N n_{z} Λ]$ ; GDR a circa $78 A^{- 1 / 3}$ MeV (13,5 MeV in $^{208}$ Pb).

Nel laboratorio: ·

La forza nucleare

Intuizione

La forza che lega i nucleoni è, a livello fondamentale, il residuo della forza forte tra quark e gluoni, schermato dalla neutralità di colore dei nucleoni: come le forze di van der Waals sono il residuo della forza elettrica tra atomi neutri. È attrattiva a distanze di 1–2 fm, fortemente repulsiva a meno di 0,5 fm, quasi indipendente dalla carica e dipendente dallo spin.

Contesto storico

Hideki Yukawa propose nel 1935 una particella mediatrice di massa intermedia (circa 200 masse elettroniche) con portata $ℏ / m c$ ; il pione fu osservato nei raggi cosmici da Powell, Lattes e Occhialini nel 1947 (Nobel a Powell, 1950) e poi prodotto in laboratorio. Il deutone con momento di quadrupolo non nullo (Kellogg, Rabi, Ramsey, Zacharias, 1939) indicò la presenza di una componente tensoriale. Weinberg (1990–91) propose di derivare le forze nucleari da una lagrangiana effettiva basata sulla simmetria chirale della QCD; da allora Epelbaum, Machleidt, Entem e altri hanno sviluppato la teoria di campo effettiva chirale.

Il problema

Quali proprietà sperimentali deve spiegare una teoria della forza nucleare, e come si ricavano da principi (simmetrie, teoria di campo) e non da fit?

Fatti sperimentali

Saturazione: energia di legame per nucleone $\approx - 16$ MeV alla densità $ρ_{0} = 0,16 f m^{- 3}$ nella materia nucleare simmetrica, con incomprimibilità $K \approx 230 \pm 20$ MeV (valori indicativi).
Corto raggio: la portata è ~1,4 fm (pione), molto minore della dimensione dei nuclei pesanti.
Quasi indipendenza dalla carica: le forze $n p$ , $n n$ e $p p$ (senza Coulomb) sono simili; l'isospin è un buon numero quantico approssimato.
Deutone: unico stato legato di due nucleoni: $J^{π} = 1^{+}$ , isospin 0, $B = 2,2246$ MeV, $μ_{d} = 0,8574 μ_{N}$ , $Q_{d} = 0,286 f m^{2}$ . Non esistono né il dineutrone né il diprotone.
Lunghezze di scattering $n p$ a bassa energia: $a_{s} (^{1} S_{0}) = - 23,7$ fm (stato virtuale) e $a_{t} (^{3} S_{1}) = + 5,42$ fm (stato legato).
Spin–orbita: la forza dipende da $\vec{L} \cdot \vec{S}$ (si vede nelle polarizzazioni in scattering e nello spin–orbita del modello a shell).

Derivazione del potenziale di Yukawa

Per un mediatore scalare di massa $m$ che si accoppia a una sorgente puntiforme statica, il campo soddisfa l'equazione di Klein–Gordon con sorgente: $(\nabla^{2} - m^{2} c^{2} / ℏ^{2}) ϕ = - g δ^{3} (\vec{r})$ . Passando alla trasformata di Fourier, $\tilde{ϕ} (\vec{q}) = g / (q^{2} + m^{2} c^{2} / ℏ^{2})$ , e antitrasformando:

ϕ (r) = \frac{g}{4 π} \frac{e^{- r / λ}}{r}, λ = \frac{ℏ}{m c} .

Il potenziale ha la forma di un Coulomb schermato; la portata è la lunghezza d'onda Compton ridotta del mediatore. Per il pione carico ( $m_{π} c^{2} = 139,57$ MeV): $λ = 197,33 / 139,57 = 1,414$ fm; per il $π^{0}$ (134,98 MeV): 1,462 fm. Un argomento di indeterminazione dà lo stesso risultato: l'emissione virtuale richiede energia $Δ E \approx m_{π} c^{2}$ per un tempo $Δ t \approx ℏ / Δ E = 4,7 \times 10^{- 24}$ s e la distanza massima percorsa è $c Δ t \approx 1,4$ fm.

Scambio di un pione e componente tensoriale

Il pione è pseudoscalare, quindi si accoppia ai nucleoni tramite $\vec{σ} \cdot \vec{\nabla}$ : il potenziale che ne risulta (OPEP, one-pion exchange potential) dipende da spin e isospin. Nel limite statico (con $f^{2} / 4 π \approx 0,075$ , costante di accoppiamento pseudovettoriale $π N$ )

V_{π} (r) = \frac{f^{2}}{4 π} \frac{m_{π} c^{2}}{3} ({\vec{τ}}_{1} ⁣ \cdot ⁣ {\vec{τ}}_{2}) [{\vec{σ}}_{1} ⁣ \cdot ⁣ {\vec{σ}}_{2} + S_{12} (1 + \frac{3}{x} + \frac{3}{x^{2}})] \frac{e^{- x}}{x}, x = \frac{m_{π} c r}{ℏ},

con $S_{12} = 3 ({\vec{σ}}_{1} ⁣ \cdot ⁣ \hat{r}) ({\vec{σ}}_{2} ⁣ \cdot ⁣ \hat{r}) - {\vec{σ}}_{1} ⁣ \cdot ⁣ {\vec{σ}}_{2}$ l'operatore tensoriale. L'operatore $S_{12}$ non conserva il momento angolare orbitale $L$ ma solo $J$ : mescola $L = 0$ e $L = 2$ in stati di spin 1. Così il deutone ( $^{3} S_{1}$ ) acquisisce una componente $^{3} D_{1}$ : la probabilità dell'onda D è circa il 4–6%. Una stima elementare dal momento magnetico: $μ_{d} = μ_{p} + μ_{n} - \frac{3}{2} (μ_{p} + μ_{n} - \frac{1}{2}) P_{D}$ (in $μ_{N}$ ), con $μ_{p} + μ_{n} = 0,880$ , dà $P_{D} = (0,880 - 0,857) / (1,5 \cdot 0,380) = 0,039$ . I numeri esatti dipendono dalle correnti di scambio. Il quadrupolo $Q_{d} \neq 0$ è un altro effetto del tensore.

Corto raggio e forze di scambio

Per $r ≲ 0,5$ fm la forza è repulsiva: nei modelli a mesoni è dovuta allo scambio del mesone vettore $ω$ (e $ρ$ ); lo scambio di due pioni (mesone scalare $σ$ effettivo) dà l'attrazione intermedia. Nei potenziali fenomenologici (Argonne v18, CD-Bonn, Nijmegen) si usano molti operatori (centrale, spin–spin, tensoriale, spin–orbita, quadratici) e si fissa la parte a corto raggio con i dati di scattering: circa 40 parametri riproducono con $χ^{2} / N \approx 1$ il database $N N$ a energie fino a 350 MeV nel laboratorio.

Teoria di campo effettiva chirale

La QCD con quark $u, d$ senza massa ha simmetria chirale $S U (2)_{L} \times S U (2)_{R}$ spezzata spontaneamente a $S U (2)_{V}$ : i pioni sono i bosoni di Goldstone e hanno massa piccola perché la simmetria è rotta anche esplicitamente da $m_{u, d}$ . Alle energie $Q ≪ Λ_{χ} \approx 1$ GeV (con $Λ_{χ} \sim 4 π f_{π}$ , $f_{π} = 92,4$ MeV) la lagrangiana effettiva ha come gradi di libertà pioni e nucleoni. Le interazioni si ordinano in potenze di $Q / Λ_{χ}$ (power counting di Weinberg):

LO: scambio di un pione + due contatti (parametri).
NLO: scambio di due pioni + contatti con due derivate.
N $^{2}$ LO: prime forze a tre corpi, con vertici di scambio di due pioni (con $c_{1}, c_{3}, c_{4}$ da $π N$ ) e contatti.
N $^{3}$ LO, N $^{4}$ LO: loop più elevati, forze a quattro corpi.

I vantaggi: simmetrie esatte, errori teorici stimabili, forze a tre corpi in maniera coerente, collegamento sistematico alla QCD su reticolo (HAL QCD, calcoli di fase). Le forze a tre corpi (Fujita–Miyazawa, 1957, scambio di due pioni con eccitazione intermedia di una $Δ$ ) sono indispensabili: senza di esse i potenziali realistici a due corpi sottolegano $^{3}$ H di circa 1 MeV e $^{4}$ He di circa 4 MeV (valori orientativi per potenziali come AV18), non riproducono il punto di saturazione né il polarization puzzle $A_{y}$ nello scattering $N d$ .

Ricorda Il potenziale nucleare non è unico né osservabile: dipende dalla scala di regolarizzazione (equivalenza unitaria). Sono osservabili le fasi di scattering, le energie, i fattori di forma. Il confronto tra teorie va fatto a parità di osservabile.

Attenzione La portata $1 / m_{π} \approx 1,4$ fm non significa che la forza si annulli oltre: decade come $e^{- r / λ}$ . E il termine «scambio di un pione» non vale a corto raggio, dove i pioni virtuali non sono i gradi di libertà adeguati.

Esempio svolto: il deutone nella buca quadra

Per un potenziale a buca quadra di raggio $R$ e profondità $V_{0}$ , nello stato $s$ con $u (r) = r R (r)$ : dentro $u = A \sin k_{0} r$ con $k_{0}^{2} = M (E + V_{0}) / ℏ^{2}$ (massa ridotta $M / 2$ , $M$ massa del nucleone) e fuori $u = B e^{- κ r}$ , con $κ = \sqrt{M B} / ℏ$ . Con $B = 2,2246$ MeV: $κ = \sqrt{938,9 \cdot 2,2246} / 197,33 = 45,70 / 197,33 = 0,2316 f m^{- 1}$ , quindi il deutone si estende su $1 / κ = 4,3$ fm, molto più della portata della forza. Il raccordo dà $k_{0} \cot k_{0} R = - κ$ . Con $R = 2$ fm, la soluzione numerica è $k_{0} = 0,91 f m^{- 1}$ : $V_{0} + E = ℏ^{2} k_{0}^{2} / M = 41,47 \cdot 0,827 = 34,3$ MeV, e quindi $V_{0} = 34,3 - 2,2 \approx 32$ MeV. Poiché $k_{0} R \approx 1,82$ è appena oltre $π / 2$ , lo stato è debolmente legato: sotto $V_{0} \approx 25,6$ MeV (cioè $k_{0} R = π / 2$ ) non esisterebbe alcuno stato legato.

Applicazioni

Le forze nucleari sono l'input per la struttura ab initio (metodi Green's function Monte Carlo, no-core shell model, coupled cluster), per l'equazione di stato delle stelle di neutroni (energia di simmetria $S_{0} \approx 32$ MeV, pendenza $L \approx 40$ – $60$ MeV, valori indicativi) e per le reazioni a bassa energia.

Collegamenti

La saturazione è alla base del modello a goccia (2) e del raggio nucleare (1); lo spin–orbita spiega i numeri magici (3). Il pione è un adrone di QCD (14); le funzioni di distribuzione dei quark nel nucleo (14) e il confinamento sono la base microscopica.

Domande di verifica

Calcola la portata di un mediatore di massa 500 MeV.
Risposta
$λ = ℏ c / (m c^{2}) = 197,33 / 500 = 0,39$ fm: è la scala dello scambio dei mesoni più pesanti, che spiega la repulsione a corto raggio.
Qual è la profondità $V_{0}$ della buca quadra per $R = 2$ fm se il deutone è appena legato?
Risposta
Al limite $B \to 0$ : $k_{0} R = π / 2$ , $k_{0} = π / 4 = 0,785 f m^{- 1}$ e $V_{0} = ℏ^{2} k_{0}^{2} / M = 41,47 \cdot 0,617 = 25,6$ MeV. Con $B = 2,22$ MeV il valore sale a circa 32 MeV (vedi esempio).
Perché il deutone ha un momento di quadrupolo non nullo?
Risposta
Una forza puramente centrale darebbe uno stato $^{3} S_{1}$ puro, a simmetria sferica ( $Q = 0$ ). Il termine tensoriale $S_{12}$ mescola $^{3} S_{1}$ e $^{3} D_{1}$ : un'onda $D$ non è sferica, quindi $Q \neq 0$ .
Calcola il tempo massimo di vita di un pione virtuale e la distanza percorsa.
Risposta
$Δ t = ℏ / (m_{π} c^{2}) = 6,582 \times 10^{- 22} M e V s / 139,57 M e V = 4,7 \times 10^{- 24}$ s; $c Δ t = 3 \times 10^{8} \cdot 4,7 \times 10^{- 24} = 1,4 \times 10^{- 15}$ m $= 1,4$ fm.

Riassunto

La forza nucleare è il residuo della QCD: attrattiva a 1–2 fm, repulsiva sotto 0,5 fm, quasi indipendente dall'isospin, con tensore e spin–orbita.
Il potenziale di Yukawa $e^{- r / λ} / r$ con $λ = ℏ / m c$ è la forma dello scambio di un mediatore massivo; il pione dà $λ = 1,41$ fm.
Il tensore spiega il quadrupolo del deutone e la sua componente D.
La teoria di campo effettiva chirale organizza le forze a due e a tre corpi con un power counting.

Nel laboratorio: ·

Radioattività

Intuizione

Un nucleo instabile non ha memoria: la probabilità che decada nell'intervallo successivo non dipende da quanto tempo è già «vissuto». Da questa sola proprietà segue una legge esponenziale del numero di nuclei nel tempo, e da essa un intero apparato di strumenti: la datazione, la medicina nucleare, la geocronologia.

Contesto storico

Henri Becquerel scoprì la radioattività nel 1896 studiando sali di uranio. Marie e Pierre Curie isolarono il polonio e il radio (1898). Ernest Rutherford e Frederick Soddy (1902–03) dimostrarono che la radioattività è trasmutazione di un elemento in un altro e formularono la legge esponenziale; Harry Bateman (1910) risolse il sistema di equazioni per le catene. Willard Libby introdusse nel 1946–49 la datazione al $^{14}$ C (Nobel per la chimica 1960).

Il problema

Come si descrive matematicamente il decadimento di un grande numero di nuclei identici, e che cosa accade quando il prodotto è a sua volta radioattivo?

Definizioni

Costante di decadimento $λ$ : probabilità per unità di tempo che un dato nucleo decada (dimensione s $^{- 1}$ ).
Attività $A = - d N / d t = λ N$ , in becquerel (Bq $= s^{- 1}$ ); 1 Ci $= 3,7 \times 10^{10}$ Bq (definizione storica).
Vita media $τ = 1 / λ$ ; emivita $T_{1 / 2} = \ln 2 / λ = 0,693 τ$ .
Larghezza $Γ = ℏ λ$ (relazione di indeterminazione tempo-energia): $τ = 1$ s corrisponde a $Γ = 6,58 \times 10^{- 16}$ eV.

Derivazione

Per ipotesi di indipendenza: in $d t$ ogni nucleo ha probabilità $λ d t$ di decadere, quindi $d N = - λ N d t$ , da cui

N (t) = N_{0} e^{- λ t}, A (t) = A_{0} e^{- λ t}, T_{1 / 2} = \frac{\ln 2}{λ} .

Il numero effettivo di decadimenti in un intervallo è una variabile di Poisson con deviazione standard $\sqrt{N_{d e c}}$ : due misure di una stessa sorgente non daranno lo stesso numero. Se un nucleo ha più canali di decadimento con costanti parziali $λ_{i}$ , $λ = \sum λ_{i}$ e il rapporto di ramificazione è $b_{i} = λ_{i} / λ$ .

Catene di Bateman. Per una catena $1 \to 2 \to 3 \to \dots$ con costanti $λ_{1}, λ_{2}, \dots$ :

\frac{d N_{1}}{d t} = - λ_{1} N_{1}, \frac{d N_{k}}{d t} = λ_{k - 1} N_{k - 1} - λ_{k} N_{k} (k \geq 2) .

Con $N_{1} (0) = N_{0}$ e $N_{k \geq 2} (0) = 0$ la soluzione generale è

N_{n} (t) = N_{0} \sum_{i = 1}^{n} c_{i} e^{- λ_{i} t}, c_{i} = \frac{\prod_{j = 1}^{n - 1} λ_{j}}{\prod_{j = 1, j \neq i}^{n} (λ_{j} - λ_{i})} .

Per $n = 2$ : $c_{1} = λ_{1} / (λ_{2} - λ_{1})$ e $c_{2} = λ_{1} / (λ_{1} - λ_{2}) = - c_{1}$ , ovvero

N_{2} (t) = N_{0} \frac{λ_{1}}{λ_{2} - λ_{1}} (e^{- λ_{1} t} - e^{- λ_{2} t}), \frac{A_{2}}{A_{1}} = \frac{λ_{2}}{λ_{2} - λ_{1}} (1 - e^{- (λ_{2} - λ_{1}) t}) .

La verifica è immediata: $N_{2} (0) = 0$ e derivando si ritrova ${\dot{N}}_{2} = λ_{1} N_{1} - λ_{2} N_{2}$ . L'attività della figlia raggiunge il massimo quando ${\dot{N}}_{2} = 0$ , cioè $A_{2} = A_{1}$ , al tempo

t_{\max} = \frac{\ln (λ_{2} / λ_{1})}{λ_{2} - λ_{1}} .

Equilibri

Equilibrio transitorio ( $λ_{2} > λ_{1}$ , cioè $T_{1} > T_{2}$ ): per $t ≫ 1 / (λ_{2} - λ_{1})$ l'esponenziale della figlia si spegne e $A_{2} / A_{1} \to λ_{2} / (λ_{2} - λ_{1}) > 1$ ; la figlia decade con la stessa velocità apparente della madre.
Equilibrio secolare ( $λ_{1} ≪ λ_{2}$ ): $A_{2} \to A_{1}$ , cioè $N_{2} / N_{1} = λ_{1} / λ_{2} = T_{2} / T_{1}$ . È la situazione delle serie naturali dell'uranio e del torio: in un minerale in equilibrio tutte le attività dei discendenti sono uguali.
Nessun equilibrio ( $λ_{2} < λ_{1}$ ): la figlia si accumula e domina più tardi.

Datazione al $^{14}$ C

I raggi cosmici producono neutroni che reagiscono con l'azoto atmosferico: $n +^{14} N \to^{14} C + p$ . Il $^{14}$ C ( $T_{1 / 2} = 5730$ anni, $β^{-}$ con $Q = 156$ keV) viene ossidato e assorbito dagli organismi vivi con rapporto $^{14} C /^{12} C \approx 1,2 \times 10^{- 12}$ ; alla morte l'assorbimento cessa. Con $T_{1 / 2}$ e attività specifica di riferimento $A_{0}$ :

t = \frac{T_{1 / 2}}{\ln 2} \ln \frac{A_{0}}{A (t)} .

Per il carbonio moderno: $N (^{14} C)$ per grammo $= \frac{6,022 \times 10^{23}}{12,011} \cdot 1,2 \times 10^{- 12} = 6,0 \times 10^{10}$ ; $λ = \ln 2 / (5730 \cdot 3,156 \times 10^{7} s) = 3,83 \times 10^{- 12} s^{- 1}$ ; $A_{0} = λ N = 0,23$ Bq per grammo di carbonio. La convenzione internazionale per l'«età al radiocarbonio» usa l'emivita di Libby 5568 anni e un anno di riferimento; poi si calibra con curve (IntCal20, Reimer et al. 2020), perché il rapporto atmosferico non è costante nel tempo. Il limite di sensibilità è circa 50 000 anni (~9 emivite) con la spettrometria di massa con acceleratore (AMS).

Ricorda Dopo $n$ emivite resta $2^{- n}$ del campione; dopo 10 emivite circa $10^{- 3}$ . Dopo $\ln (10) / \ln 2 = 3,32$ emivite l'attività si riduce di un fattore 10. L'attività è proporzionale a $N$ ma inversamente a $T_{1 / 2}$ : a pari numero di nuclei, il più veloce è il più attivo.

Attenzione La legge esponenziale è esatta nel limite di campioni grandi e finché $λ$ è costante; per campioni piccoli le fluttuazioni di Poisson dominano. Inoltre $λ$ cambia in casi particolari: la cattura elettronica dipende dalla densità elettronica sul nucleo (variazioni dell'ordine di $10^{- 3}$ – $10^{- 2}$ con lo stato chimico per $^{7}$ Be) e uno ione completamente ionizzato non cattura più.

Esempio svolto: generatore $^{99}$ Mo/ $^{99 m}$ Tc

Con $T_{1} (^{99} M o) = 65,9$ h e $T_{2} (^{99 m} T c) = 6,01$ h (trascurando il rapporto di ramificazione, circa 88%, verso l'isomero): $λ_{1} = 0,6931 / 65,9 = 0,01052 h^{- 1}$ , $λ_{2} = 0,6931 / 6,01 = 0,1153 h^{- 1}$ . Il tempo del massimo dell'attività della figlia è $t_{\max} = \ln (0,1153 / 0,01052) / (0,1153 - 0,01052) = 2,394 / 0,1048 = 22,9$ h: la ragione per cui gli ospedali «mungono» il generatore ogni circa 24 ore. Il rapporto di equilibrio transitorio è $A_{2} / A_{1} = λ_{2} / (λ_{2} - λ_{1}) = 1,10$ (a meno del ramo).

Applicazioni

Datazione ( $^{14}$ C, $^{40}$ K– $^{40}$ Ar, U–Pb: la serie $^{238}$ U $\to^{206}$ Pb con $T_{1 / 2} = 4,47 \times 10^{9}$ anni), medicina nucleare, rivelatori di fumo ( $^{241}$ Am), batterie radioisotopiche ( $^{238}$ Pu), radon domestico, calore radiogenico della Terra.

Collegamenti

La legge di decadimento si applica a $α$ (7), $β$ (8), $γ$ (9). Le catene di Bateman sono lo stesso sistema delle equazioni dei precursori nei reattori (11) e delle abbondanze nei processi $s$ e $r$ (12).

Domande di verifica

Quanti nuclei di $^{131}$ I ( $T_{1 / 2} = 8,02$ giorni) ci sono in un campione da 1 GBq?
Risposta
$λ = 0,6931 / (8,02 \cdot 86400) = 1,00 \times 10^{- 6} s^{- 1}$ ; $N = A / λ = 10^{9} / 10^{- 6} = 1,0 \times 10^{15}$ nuclei, cioè $2,2 \times 10^{- 7}$ g.
Un reperto ha attività 0,115 Bq per grammo di carbonio. Età?
Risposta
$t = \frac{5730}{0,6931} \ln \frac{0,226}{0,115} = 8267 \cdot 0,6755 = 5584$ anni (precisione dell'ordine di centinaia di anni, prima della calibrazione).
Dimostra che nell'equilibrio secolare $N_{2} / N_{1} = T_{2} / T_{1}$ .
Risposta
Con $λ_{1} ≪ λ_{2}$ , per $t ≫ 1 / λ_{2}$ , ${\dot{N}}_{2} \approx 0$ , quindi $λ_{1} N_{1} = λ_{2} N_{2}$ e $N_{2} / N_{1} = λ_{1} / λ_{2} = T_{2} / T_{1}$ .
Quanto tempo passa prima che il $^{14}$ C di un campione scenda a $1 / 1000$ ?
Risposta
$t = T_{1 / 2} \log_{2} 1000 = 5730 \cdot 9,97 = 57 100$ anni: oltre il limite pratico dei circa 50 000 anni.

Riassunto

$N = N_{0} e^{- λ t}$ , $T_{1 / 2} = \ln 2 / λ$ , $A = λ N$ .
Catena di due: $N_{2} = N_{0} λ_{1} (e^{- λ_{1} t} - e^{- λ_{2} t}) / (λ_{2} - λ_{1})$ ; massimo a $\ln (λ_{2} / λ_{1}) / (λ_{2} - λ_{1})$ .
Equilibrio secolare: $A_{2} = A_{1}$ ; transitorio: $A_{2} / A_{1} = λ_{2} / (λ_{2} - λ_{1})$ .
$^{14}$ C: $A_{0} \approx 0,23$ Bq/g, $T_{1 / 2} = 5730$ a, limite ~50 000 a.

Nel laboratorio: ·

Decadimento alfa

Intuizione

Un nucleo pesante può espellere un blocco di quattro nucleoni (due protoni e due neutroni, un nucleo di $^{4}$ He). La particella $α$ ha energia cinetica di pochi MeV, inferiore all'altezza della barriera coulombiana che dovrebbe superare: esce per effetto tunnel. Poiché la probabilità di tunnel dipende in modo esponenziale dall'energia, le vite medie coprono più di venti ordini di grandezza (da $\sim 10^{- 7}$ s a $\sim 10^{17}$ s) a fronte di una variazione di energia di un fattore due.

Contesto storico

Rutherford identificò le $α$ come ioni elio (1908). Geiger e Nuttall (1911) osservarono la correlazione tra vita media e portata (cioè energia) delle $α$ nelle serie naturali. Nel 1928 George Gamow, e indipendentemente Ronald Gurney ed Edward Condon, spiegarono il decadimento con l'effetto tunnel quantistico: fu una delle prime applicazioni della meccanica quantistica al nucleo. Viola e Seaborg (1966) proposero la formula semiempirica oggi usata per le sistematiche.

Il problema

Perché una $α$ di 4–9 MeV esce da un nucleo in cui la barriera di Coulomb raggiunge circa 25–30 MeV, e perché l'energia e la vita media sono legate così rigidamente?

Definizioni

Per il decadimento $_{Z}^{A} X \to_{Z - 2}^{A - 4} Y + α$ si definisce, con masse atomiche,

Q_{α} = [M (A, Z) - M (A - 4, Z - 2) - M (^{4} H e)] c^{2} .

La conservazione dell'impulso nel riferimento del nucleo padre ripartisce $Q_{α}$ : $T_{α} = Q_{α} \frac{M_{Y}}{M_{Y} + M_{α}} \approx Q_{α} \frac{A - 4}{A}$ (non relativistico). L'energia di legame dell'elio ( $28,3$ MeV, $7,07$ MeV/nucleone) è eccezionalmente alta, per cui $Q_{α} > 0$ già per $A ≳ 150$ , e il decadimento $α$ è il canale tipico dei nuclei pesanti.

Derivazione: il fattore di Gamow

Si modellizza la $α$ come preformata nel nucleo, che urta la barriera con frequenza $f$ e la attraversa con probabilità $P$ : $λ = S f P$ ( $S$ probabilità di preformazione, $f \approx v / 2 R$ ). La barriera è quella coulombiana tra $α$ e figlio, $V (r) = \frac{2 (Z - 2) e^{2}}{4 π ε_{0} r}$ , tra il raggio nucleare $R$ e il punto di ritorno $b$ in cui $V (b) = Q_{α}$ :

b = \frac{2 (Z - 2) α ℏ c}{Q_{α}} (con Z_{1} Z_{2} = 2 (Z - 2)) .

Con l'approssimazione WKB, $P ≃ e^{- 2 G}$ con

G = \frac{1}{ℏ} \int_{R}^{b} \sqrt{2 μ [V (r) - Q_{α}]} d r = \frac{b \sqrt{2 μ Q_{α}}}{ℏ} [\arccos \sqrt{x} - \sqrt{x (1 - x)}], x = \frac{R}{b},

dove $μ$ è la massa ridotta di $α$ e nucleo figlio. Per $x ≪ 1$ il termine in parentesi si sviluppa come $π / 2 - 2 \sqrt{x}$ e

2 G ≃ π Z_{1} Z_{2} α \sqrt{\frac{2 μ c^{2}}{Q_{α}}} - 4 \sqrt{2 μ c^{2} Z_{1} Z_{2} α \frac{R}{ℏ c}} .

Il primo termine, $2 π η$ con $η = Z_{1} Z_{2} α c / v$ , è il fattore di Gamow ed è quello dominante: $\ln λ \propto - Z / \sqrt{Q_{α}}$ . Da qui la legge di Geiger–Nuttall: $\log_{10} T_{1 / 2} ≃ a Z / \sqrt{Q_{α}} + b$ , con $a, b$ che dipendono da famiglia isotopica.

Formula di Viola–Seaborg

Nella parametrizzazione di Sobiczewski, Patyk e Ćwiok (1989), per il decadimento di un nucleo padre di numero atomico $Z$ ( $T_{1 / 2}$ in secondi, $Q_{α}$ in MeV):

\log_{10} T_{1 / 2} = \frac{a Z + b}{\sqrt{Q_{α}}} + c Z + d + h_{\log},

a = 1,66175, b = - 8,5166, c = - 0,20228, d = - 33,9069.

Il termine di hindrance è $h_{\log} = 0$ per nuclei pari–pari, $0,772$ per $Z$ dispari e $N$ pari, $1,066$ per $Z$ pari e $N$ dispari, $1,114$ per dispari–dispari. (Questi valori sono confermati nella letteratura, per esempio arXiv:nucl-th/0703086, eq. 17–18.) La formula è adatta ai nuclei pesanti e superpesanti, con errori tipici di un fattore 2–4 per pari–pari, e peggiora vicino alle chiusure di shell.

Interpretazione fisica

L'energia tipica dipende dal Q, ma la vita media dipende da $Q$ con una sensibilità enorme: un aumento di $Q$ del 10% accorcia $T_{1 / 2}$ di circa tre ordini di grandezza (domanda 3).
Per $l \neq 0$ si aggiunge la barriera centrifuga $ℏ^{2} l (l + 1) / 2 μ r^{2}$ , che sopprime i decadimenti verso stati del figlio con spin molto diverso: spiega la «struttura fine» e le vie preferenziali (decadimenti $0^{+} \to 0^{+}$ favoriti).
Il fattore di preformazione $S$ (da $10^{- 1}$ a $10^{- 3}$ ) incorpora le correlazioni nucleari; è massimo per nuclei pari–pari e ridotto presso nuclei doppiamente magici.

Ricorda Lo spettro $α$ è discreto (a differenza del $β$ ): ogni riga corrisponde a un livello finale del nucleo figlio, e la sua intensità riflette la probabilità di tunnel verso quel livello. Le righe di $^{238}$ U sono $4,198$ MeV (79%) e $4,151$ MeV (21%).

Attenzione La $T_{α}$ è l'energia cinetica nel riferimento del padre ( $Q_{α}$ meno il rinculo), non il $Q$ stesso. In Viola–Seaborg si usa il $Q_{α}$ totale e lo $Z$ del padre (non del figlio). Il calcolo di Gamow è sensibile all'esponenziale: un errore del 5% su $R$ cambia $P$ di un fattore 2–3.

Esempio svolto: $^{238}$ U

Masse atomiche: $M (^{238} U) = 238,050788$ u, $M (^{234} T h) = 234,043601$ u, $M (^{4} H e) = 4,002603$ u. La differenza è $0,004584$ u, quindi $Q_{α} = 0,004584 \cdot 931,494 = 4,270$ MeV e $T_{α} = 4,270 \cdot 234 / 238 = 4,198$ MeV, come osservato.

Tunnel. $Z_{1} Z_{2} = 2 \cdot 90 = 180$ ; $μ = \frac{4 \cdot 234}{238} u = 3,933$ u $= 3664$ MeV $/ c^{2}$ ; $b = 180 \cdot 1,44 / 4,270 = 60,7$ fm; con $R = 1,2 (4^{1 / 3} + 234^{1 / 3}) = 9,3$ fm risulta $x = 0,153$ , $\arccos \sqrt{x} - \sqrt{x (1 - x)} = 1,167 - 0,360 = 0,807$ . Inoltre $b \sqrt{2 μ Q} / ℏ = 60,7 \cdot \sqrt{2 \cdot 3664 \cdot 4,270} / 197,33 = 60,7 \cdot 176,9 / 197,33 = 54,4$ . Quindi $2 G = 2 \cdot 54,4 \cdot 0,807 = 87,8$ e $P = e^{- 87,8} \approx 7 \times 10^{- 39}$ .

La frequenza di assalto è $f \approx v / 2 R$ con $v \approx \sqrt{2 (Q + V_{0}) / μ}$ ( $V_{0} \approx 35$ MeV): $v \approx 0,146 c = 4,4 \times 10^{7}$ m/s e $f \approx 4,4 \times 10^{7} / (1,86 \times 10^{- 14} m) = 2,4 \times 10^{21} s^{- 1}$ . Allora $λ \approx 2,4 \times 10^{21} \cdot 7 \times 10^{- 39} \approx 1,7 \times 10^{- 17} s^{- 1}$ e $T_{1 / 2} = \ln 2 / λ \approx 4 \times 10^{16}$ s $\approx 1,3 \times 10^{9}$ anni (senza fattore di preformazione). Il valore misurato è $4,47 \times 10^{9}$ anni: entro un fattore ~3, che per un calcolo con l'esponente $e^{- 88}$ è un ottimo risultato (la differenza si assorbe in $S \approx 0,3$ ).

Viola–Seaborg. $Z = 92$ : $(1,66175 \cdot 92 - 8,5166) / \sqrt{4,270} = 144,36 / 2,0664 = 69,86$ ; $c Z = - 0,20228 \cdot 92 = - 18,61$ ; $\log_{10} T_{1 / 2} = 69,86 - 18,61 - 33,91 = 17,34$ , cioè $T_{1 / 2} \approx 2,2 \times 10^{17}$ s $= 7,0 \times 10^{9}$ anni (sperimentale $4,47 \times 10^{9}$ anni: errore di un fattore 1,6). Per $^{232}$ Th ( $Z = 90$ , $Q_{α} = 4,082$ MeV): $(149,56 - 8,52) / 2,0204 = 69,81$ ; $c Z = - 18,21$ ; $\log_{10} T = 17,69$ , $T \approx 4,9 \times 10^{17}$ s $= 1,5 \times 10^{10}$ anni (misurato $1,4 \times 10^{10}$ anni).

Applicazioni

Sorgenti $α$ ( $^{241}$ Am nei rivelatori di fumo, $^{210}$ Po, $^{238}$ Pu per generatori termoelettrici a radioisotopi), terapia con emettitori $α$ ( $^{223}$ Ra, $^{225}$ Ac, $^{211}$ At), datazione con serie dell'uranio, sintesi e identificazione degli elementi superpesanti attraverso catene di decadimenti $α$ (per esempio gli elementi 113–118), ricerche di decadimenti $α$ in esotici ( $^{104}$ Te).

Collegamenti

La barriera coulombiana di entrata ritorna nelle reazioni e nella fusione (10, 12). Il tunnel è lo stesso nella fissione spontanea (11). Il fattore di preformazione si calcola con il modello a shell (3). La legge di decadimento è nell'argomento 6.

Domande di verifica

Calcola il $Q_{α}$ di $^{232}$ Th con $M (^{232} T h) = 232,038054$ u e $M (^{228} R a) = 228,031070$ u.
Risposta
$Δ M = 232,038054 - 228,031070 - 4,002603 = 0,004381$ u. $Q_{α} = 0,004381 \cdot 931,494 = 4,081$ MeV, in accordo con 4,08 MeV (masse atomiche da AME2020).
Qual è l'energia cinetica della particella $α$ e quella del nucleo di rinculo in $^{238}$ U?
Risposta
$T_{α} = 4,270 \cdot 234 / 238 = 4,198$ MeV e $T_{T h} = 4,270 - 4,198 = 0,072$ MeV $= 72$ keV: la conservazione dell'impulso dà $T_{T h} / T_{α} = 4 / 234$ .
Con Viola–Seaborg, di quanto cambia $T_{1 / 2}$ se $Q_{α}$ passa da 4,27 a 4,70 MeV per $Z = 92$ ?
Risposta
$Δ \log_{10} T = 144,36 ({4,70}^{- 1 / 2} - {4,27}^{- 1 / 2}) = 144,36 (0,4613 - 0,4839) = - 3,26$ : la vita media si accorcia di un fattore $\approx 1800$ per un aumento di 10% di $Q$ .
Qual è la distanza $b$ del punto di ritorno per $Z_{1} Z_{2} = 180$ e $Q = 4,27$ MeV, e quanto vale la barriera a $R = 9,3$ fm?
Risposta
$b = 180 \cdot 1,44 / 4,27 = 60,7$ fm. La barriera a $R$ : $V (R) = 259,2 / 9,3 = 27,9$ MeV: la $α$ deve attraversare un ostacolo di ~28 MeV con soli 4,27 MeV.

Riassunto

$Q_{α} = [M (A, Z) - M (A - 4, Z - 2) - M (^{4} H e)] c^{2}$ ; $T_{α} = Q_{α} (A - 4) / A$ .
Il tunnel di Gamow: $P = e^{- 2 G}$ , $2 G ≃ 2 π η - \dots$ ; da qui $\ln λ \propto - Z / \sqrt{Q}$ .
Viola–Seaborg (coefficienti verificati): $\log T = (a Z + b) / \sqrt{Q} + c Z + d + h$ .
Sensibilità estrema a $Q$ e a $R$ ; lo spettro è a righe.

Nel laboratorio: ·

Decadimento beta e interazione debole

Intuizione

Nel decadimento $β$ un neutrone si trasforma in un protone (o viceversa) emettendo un elettrone (o positrone) e un neutrino. È un processo della forza debole, che cambia il sapore di un quark ( $d \leftrightarrow u$ ); è lento (vite medie da ms ad anni, fino a $10^{16}$ anni) perché la forza è debole e il suo mediatore, il bosone $W$ , è pesante. I tre corpi nello stato finale ripartiscono l'energia in modo continuo, e perciò lo spettro dell'elettrone è continuo.

Contesto storico

Chadwick (1914) osservò uno spettro $β$ continuo, confermato nel calorimetro da Ellis e Wooster (1927). Per salvare la conservazione dell'energia, Wolfgang Pauli propose nel 1930 una particella neutra di spin ½ (da lui chiamata «neutrone»). Enrico Fermi nel 1934 formulò la teoria e coniò il nome neutrino. Gamow e Teller (1936) generalizzarono le regole di selezione. Lee e Yang (1956) suggerirono la non conservazione della parità, osservata da Chien-Shiung Wu e collaboratori nel 1957 in $^{60}$ Co. Cowan e Reines rivelarono l'antineutrino da reattore nel 1956. Goldhaber, Grodzins e Sunyar (1958) mostrarono che il neutrino ha elicità negativa. Feynman e Gell-Mann, e indipendentemente Sudarshan e Marshak (1958), proposero la struttura $V ⁣ - ⁣ A$ .

Il problema

Come si spiega lo spettro continuo, la distribuzione in energia, l'ampio spettro di vite medie, e le regole di selezione? Che informazione danno sulla massa del neutrino?

Definizioni e Q-valori

Con masse atomiche:

$β^{-}$ : $(Z, A) \to (Z + 1, A) + e^{-} + {\overset{ˉ}{ν}}_{e}$ , $Q_{β^{-}} = [M (Z, A) - M (Z + 1, A)] c^{2}$ .
$β^{+}$ : $(Z, A) \to (Z - 1, A) + e^{+} + ν_{e}$ , $Q_{β^{+}} = [M (Z, A) - M (Z - 1, A) - 2 m_{e}] c^{2}$ .
Cattura elettronica (EC): $e_{a t o m i c o}^{-} + (Z, A) \to (Z - 1, A) + ν_{e}$ , $Q_{E C} = [M (Z, A) - M (Z - 1, A)] c^{2} - B_{e}$ (energia di legame dell'elettrone catturato, tipicamente $K$ ). Si ha $Q_{β^{+}} = Q_{E C} - 2 m_{e} c^{2}$ : il $β^{+}$ richiede $Q_{E C} > 1,022$ MeV, mentre l'EC è sempre possibile quando $Q_{E C} > 0$ .
Per il neutrone libero: $Q = (m_{n} - m_{p} - m_{e}) c^{2} = 0,782$ MeV, $T_{1 / 2} \approx 609$ s ( $τ_{n} \approx 878$ s da esperimenti con neutroni ultrafreddi in bottiglia; le misure con fasci danno circa 888 s: la discrepanza è aperta).

Teoria di Fermi: derivazione dello spettro

La regola d'oro di Fermi dà la probabilità di transizione per unità di tempo

λ = \frac{2 π}{ℏ} ∣ M_{f i} ∣^{2} ρ (E_{f}),

dove $M_{f i} = ⟨ f ∣ H_{W} ∣ i ⟩$ e $ρ$ è la densità di stati finali. Per un'interazione di contatto, $M_{f i} = G M_{n u c} / V$ con $V$ volume di normalizzazione; nello spazio delle fasi i due leptoni liberi hanno $d^{3} p_{e} d^{3} p_{ν} / (2 π ℏ)^{6}$ con la conservazione dell'energia $T_{e} + E_{ν} = Q$ (si trascura il rinculo). Per un neutrino senza massa $E_{ν} = p_{ν} c = Q - T_{e}$ . Integrando sull'angolo,

\frac{d N}{d p_{e}} \propto ∣ M_{n u c} ∣^{2} F (Z, E_{e}) p_{e}^{2} (Q - T_{e})^{2},

dove $F (Z, E)$ è la funzione di Fermi, che tiene conto dell'attrazione (repulsione) coulombiana dell'elettrone (positrone) da parte del nucleo: nel limite non relativistico $F = 2 π η / (1 - e^{- 2 π η})$ con $η = \pm Z α / β_{e}$ , maggiore di 1 per $β^{-}$ e minore per $β^{+}$ . Il grafico di Kurie riporta

K (T_{e}) = \sqrt{\frac{d N / d p_{e}}{p_{e}^{2} F (Z, E_{e})}} \propto (Q - T_{e}),

che è una retta per le transizioni permesse, con intercetta in $Q$ : una deviazione dalla linearità indica transizioni proibite o nuova fisica. Se il neutrino ha massa $m_{ν}$ , vicino al punto finale $K \propto \sqrt{(Q - T_{e}) \sqrt{(Q - T_{e})^{2} - m_{ν}^{2} c^{4}}}$ e il punto finale si sposta a $Q - m_{ν} c^{2}$ .

Tempo di dimezzamento comparato. L'integrale sullo spettro dà $λ = \frac{\ln 2}{T_{1 / 2}} \propto G^{2} ∣ M_{n u c} ∣^{2} f (Z, Q)$ , con $f$ l'integrale adimensionale sullo spazio delle fasi (energie in unità di $m_{e} c^{2}$ ), proporzionale a $Q^{5}$ per $Q ≫ m_{e} c^{2}$ (regola di Sargent). Si introduce quindi

f t = f (Z, Q) T_{1 / 2} = \frac{K}{G_{V}^{2} (∣ M_{F} ∣^{2} + g_{A}^{2} ∣ M_{G T} ∣^{2})}, λ_{A} = \frac{g_{A}}{g_{V}} \approx - 1,275,

con $K = 2 π^{3} ℏ \ln 2 (ℏ c)^{6} / (m_{e} c^{2})^{5}$ un fattore universale. Il valore $\log_{10} (f t)$ ( $t$ in secondi) classifica le transizioni: superpermesse $3,0$ – $3,6$ ; permesse $4$ – $7$ ; prime proibite $6$ – $10$ ; seconde proibite $≳ 10$ .

Regole di selezione

Tipo	Accoppiamento leptonico	$Δ J$	Parità	Esempio
Fermi permessa	spin antiparalleli, $S = 0$	0	no	$^{14} O (0^{+}) \to^{14} N^{*} (0^{+})$
Gamow–Teller permessa	spin paralleli, $S = 1$	0, ±1 (non $0 \to 0$ )	no	$^{60} C o (5^{+}) \to^{60} {N i}^{*} (4^{+})$
Prima proibita	$L = 1$	0, ±1, (±2 «unica»)	sì	—

Le transizioni superpermesse $0^{+} \to 0^{+}$ sono puramente di Fermi: il valore $F t$ , corretto per effetti radiativi e dell'isospin, dovrebbe essere costante se la corrente vettoriale è conservata (CVC). Il valore medio è $F t ≃ 3072$ s (Hardy e Towner, 2020: $F t = 3072,2 \pm 1,9$ s), da cui si estrae $∣ V_{u d} ∣ \approx 0,974$ , elemento della matrice CKM (la verifica dell'unitarietà è un test del Modello Standard).

La massa del neutrino

Le oscillazioni di neutrini dimostrano che i neutrini hanno massa, ma misurano solo le differenze $Δ m_{21}^{2} \approx 7,5 \times 10^{- 5} e V^{2}$ e $∣ Δ m_{31}^{2} ∣ \approx 2,5 \times 10^{- 3} e V^{2}$ . Dall'oscillazione si deduce che la somma delle masse è $Σ m_{ν} ≳ 0,06$ eV (ordinamento normale) o $≳ 0,10$ eV (ordinamento invertito). Tre approcci di misura:

Diretta, dal punto finale del decadimento $β$ del trizio ( $^{3} H \to^{3} H e + e^{-} + {\overset{ˉ}{ν}}_{e}$ , $Q = 18,59$ keV, $T_{1 / 2} = 12,3$ anni): l'esperimento KATRIN ha ottenuto $m_{ν_{e}} < 0,45$ eV al 90% CL (Science, 2025; precedentemente $< 0,8$ eV nel 2022). La grandezza misurata è $m_{β}^{2} = \sum_{i} ∣ U_{e i} ∣^{2} m_{i}^{2}$ .
Cosmologica: $Σ m_{ν} ≲ 0,1$ eV circa con dati combinati CMB e BAO (Planck 2018: $< 0,12$ eV; con i dati BAO di DESI 2024 circa $< 0,07$ eV nel modello $Λ$ CDM; il limite dipende dal modello cosmologico).
Doppio beta senza neutrini, sensibile a $m_{β β}$ (sotto).

Doppio decadimento beta

Per alcuni nuclei pari–pari il decadimento $β$ singolo è energeticamente vietato, o fortemente soppresso per via dello spin, perché il nucleo $(Z + 1, A)$ è meno legato, mentre $(Z + 2, A)$ è più legato (grazie all'appaiamento): ne risulta il decadimento a due $β$ simultanei.

$2 ν β β$ : $(Z, A) \to (Z + 2, A) + 2 e^{-} + 2 {\overset{ˉ}{ν}}_{e}$ . È un processo del secondo ordine del Modello Standard, previsto da Maria Goeppert Mayer nel 1935 e osservato direttamente per la prima volta nel 1987 ( $^{82}$ Se). Le vite medie vanno da $\sim 10^{18}$ a $\sim 10^{24}$ anni ( $^{76}$ Ge: $\approx 2 \times 10^{21}$ anni; $^{136}$ Xe: $\approx 2 \times 10^{21}$ anni; $^{100}$ Mo: $\approx 7 \times 10^{18}$ anni). Lo spettro di somma delle energie è continuo.
$0 ν β β$ : $(Z, A) \to (Z + 2, A) + 2 e^{-}$ . Viola il numero leptonico di due unità ( $Δ L = 2$ ) ed è possibile solo se il neutrino è una particella di Majorana. Lo spettro di somma dei due elettroni è una riga a $Q_{β β}$ . Se mediato dallo scambio di un neutrino di Majorana leggero,
$[T_{1 / 2}^{0 ν}]^{- 1} = G^{0 ν} (Q, Z) ∣ M^{0 ν} ∣^{2} \frac{m_{β β}^{2}}{m_{e}^{2}}, m_{β β} = ∣ \sum_{i} U_{e i}^{2} m_{i} ∣,$
dove $G^{0 ν}$ è il fattore di fase, $M^{0 ν}$ l'elemento di matrice nucleare (incertezza di un fattore ~2–3 tra i modelli), e la somma contiene le fasi di Majorana. I limiti attuali sono $T_{1 / 2}^{0 ν} > 10^{26}$ anni ( $^{76}$ Ge, GERDA; $^{136}$ Xe, KamLAND-Zen), che corrispondono a $m_{β β} ≲ 0,03$ – $0,2$ eV a seconda dell'elemento di matrice e dell'isotopo.

Neutrini di Dirac e di Majorana

Un fermione di Dirac ha antiparticella distinta; un fermione di Majorana (Ettore Majorana, 1937) coincide con la propria antiparticella, $ν = ν^{c}$ . Per un neutrino sinistrorso esiste il termine di massa di Majorana $\frac{1}{2} m \overline{ν_{L}^{c}} ν_{L}$ che viola il numero leptonico; nel Modello Standard non può essere scritto da solo (richiederebbe un tripletto di Higgs), ma può nascere dall'operatore effettivo di Weinberg a dimensione 5, ovvero dal meccanismo dell'altalena (seesaw): un neutrino destrorso pesante ( $M_{R}$ ) produce $m_{ν} \sim m_{D}^{2} / M_{R}$ , il che spiega la piccolezza di $m_{ν}$ rispetto agli altri fermioni. Il teorema di Schechter–Valle (1982) afferma che l'osservazione di $0 ν β β$ implicherebbe una massa di Majorana, quali che siano i meccanismi che la mediano.

Ricorda Nel $β^{-}$ nucleare il quark $d$ di un neutrone diventa $u$ emettendo un $W^{-}$ virtuale $\to e^{-} {\overset{ˉ}{ν}}_{e}$ . A $Q ≪ m_{W}$ la costante efficace è $G_{F} / \sqrt{2} = g^{2} / (8 m_{W}^{2})$ , con $G_{F} = 1,1664 \times 10^{- 5} G e V^{- 2}$ e, per i decadimenti con quark, il fattore $V_{u d}$ .

Attenzione Il Q del $β^{+}$ ha due masse elettroniche in meno; non confondere $T_{1 / 2}$ con $τ$ ; e non confondere $λ_{A} = g_{A} / g_{V}$ con la costante di decadimento. Nella stima di $m_{β}$ con KATRIN si misura una massa efficace (media incoerente su $m_{i}^{2}$ ), non la massa di un singolo autostato. Infine, $0 ν β β$ misura $m_{β β}$ (somma coerente con fasi), che può annullarsi per cancellazioni.

Esempio svolto

$^{60}$ Co. $M (^{60} C o) = 59,933817$ u e $M (^{60} N i) = 59,930786$ u: $Δ M = 0,003031$ u, $Q_{β^{-}} = 2,823$ MeV (valore AME2020: $2,8235$ MeV). Il $β$ popola per il 99,88% il livello $4^{+}$ a 2,506 MeV del $^{60}$ Ni (transizione GT $5^{+} \to 4^{+}$ ), quindi l'energia massima dell'elettrone è $2,823 - 2,506 = 0,318$ MeV; seguono i gamma da 1,173 e 1,332 MeV. Il decadimento verso il fondamentale $0^{+}$ richiederebbe $Δ J = 5$ ed è fortemente proibito.

Neutrone. $T_{1 / 2} = 0,6931 \cdot 878 = 609$ s; con $f = 1,689$ (fattore di spazio delle fasi, $f = 1,6887$ secondo la PDG) risulta $f t = 1028$ s ( $\log f t \approx 3,0$ ). Il confronto con le transizioni $0^{+} \to 0^{+}$ (puro Fermi, $∣ M_{F} ∣^{2} = 2$ ): per il neutrone $∣ M_{F} ∣^{2} = 1$ e $∣ M_{G T} ∣^{2} = 3$ , quindi $f t_{n} ≃ 2 F t / (1 + 3 λ_{A}^{2}) = 2 \cdot 3072 / (1 + 3 \cdot 1,626) = 1045$ s, in accordo al 2% con 1028 s (le correzioni radiative differiscono nei due casi). Questa relazione consente di estrarre $λ_{A}$ dalla vita media del neutrone.

Applicazioni

PET (emettitori $β^{+}$ : $^{18}$ F, $T_{1 / 2} = 110$ min; $^{11}$ C, 20 min), terapia con $β^{-}$ ( $^{131}$ I, $^{177}$ Lu, $^{90}$ Y), datazione ( $^{14}$ C, $^{40}$ K), fisica dei reattori (antineutrini da reattore, decay heat), nucleosintesi (tempi di decadimento nei processi $s$ , $r$ ), spettrometria del trizio.

Collegamenti

Le regole di selezione dipendono dalle funzioni d'onda a shell (3); il decadimento è un caso della legge di decadimento (6); il $β$ nelle stelle e nel BBN (12); la corrente debole è parte delle regole di Feynman del Modello Standard; il $W$ e i quark (14).

Domande di verifica

Calcola $Q_{β^{-}}$ del trizio con $M (^{3} H) = 3,0160493$ u e $M (^{3} H e) = 3,0160293$ u.
Risposta
$Δ M = 2,00 \times 10^{- 5}$ u $\Rightarrow Q = 2,00 \times 10^{- 5} \cdot 931,494 M e V = 18,6$ keV, in accordo con $18,59$ keV.
Un nucleo ha $Q_{E C} = 0,95$ MeV. Può decadere $β^{+}$ ?
Risposta
No: occorre $Q_{E C} > 2 m_{e} c^{2} = 1,022$ MeV. Può decadere solo per cattura elettronica.
La transizione $^{14}$ O ( $0^{+}$ ) $\to^{14}$ N $^{*}$ ( $0^{+}$ ) è di Fermi o di Gamow–Teller?
Risposta
$Δ J = 0$ con $0 \to 0$ vieta Gamow–Teller (non permesso per $0 \to 0$ ): è puramente di Fermi.
Di quanto si sposta il punto finale dello spettro del trizio se $m_{ν} = 0,45$ eV, e quale frazione di $Q$ è?
Risposta
Il punto finale passa da $Q$ a $Q - m_{ν} c^{2}$ : lo spostamento è $0,45$ eV, cioè $0,45 / 18 590 = 2,4 \times 10^{- 5}$ di $Q$ . Per questo servono uno spettrometro con risoluzione di ~1 eV e una sorgente molto intensa vicino al punto finale, dove la frazione di eventi è minuscola ( $\sim 10^{- 13}$ in tutto l'intervallo che conta).

Riassunto

Tre canali: $β^{-}$ , $β^{+}$ , EC, con i rispettivi $Q$ in massa atomica; $Q_{β^{+}} = Q_{E C} - 1,022$ MeV.
Spettro continuo $\propto F p^{2} (Q - T)^{2}$ ; Kurie lineare; $f t$ classifica le transizioni; regole di Fermi e Gamow–Teller.
Massa del neutrino: KATRIN $< 0,45$ eV; $0 ν β β$ sonda il carattere di Majorana (limiti $> 10^{26}$ anni).

Nel laboratorio: ·

Decadimento gamma, conversione interna, isomeri

Intuizione

Dopo un decadimento $α$ o $β$ , o dopo una reazione, il nucleo figlio si trova spesso in uno stato eccitato. Ne esce emettendo un fotone di energia da keV a pochi MeV: è un processo elettromagnetico, dunque più veloce di $α$ e $β$ , ma tanto più lento quanto più il fotone deve portare momento angolare. Alcuni stati eccitati sopravvivono a lungo: sono gli isomeri.

Contesto storico

Paul Villard scoprì i raggi $γ$ nel 1900 nel radio; Rutherford e Andrade (1914) misurarono la lunghezza d'onda con la diffrazione da cristallo. Otto Hahn scoprì nel 1921 il primo isomero ( $^{234 m}$ Pa); l'interpretazione in termini di stati metastabili con grande differenza di spin è di von Weizsäcker (1936). Victor Weisskopf (1951) calcolò le stime a particella singola per le probabilità di transizione. Rudolf Mössbauer scoprì nel 1958 l'emissione e l'assorbimento senza rinculo (Nobel 1961).

Il problema

Come si calcola la vita media di uno stato eccitato che decade per emissione di un fotone, e perché alcune vite medie differiscono di molti ordini di grandezza anche a energie simili?

Definizioni

Per una transizione tra stati di spin $J_{i} \to J_{f}$ , un fotone porta momento angolare $L$ (la multipolarità) con la regola del triangolo

∣ J_{i} - J_{f} ∣ \leq L \leq J_{i} + J_{f}, L \geq 1 (niente 0 \to 0 per un singolo fotone) .

Le radiazioni sono di due tipi: elettrica ( $E L$ ) con parità $π = (- 1)^{L}$ , e magnetica ( $M L$ ) con parità $π = (- 1)^{L + 1}$ . Dunque $Δ π = no$ : $E 2$ , $M 1$ , $E 4$ , $M 3$ ; $Δ π = s \overset{ˋ}{ı}$ : $E 1$ , $M 2$ , $E 3$ , $M 4$ . L'energia del fotone è $E_{γ} = E_{i} - E_{f} - T_{r i n c u l o}$ con $T_{r i n c u l o} = E_{γ}^{2} / (2 M c^{2})$ .

Derivazione: probabilità di transizione e stima di Weisskopf

La teoria perturbativa dà per l'emissione di un fotone di multipolarità $σ L$

λ (σ L) = \frac{8 π (L + 1)}{L [(2 L + 1)!!]^{2}} \frac{1}{ℏ} {(\frac{E_{γ}}{ℏ c})}^{2 L + 1} B (σ L),

con $B (σ L)$ la probabilità di transizione ridotta (in $e^{2} {f m}^{2 L}$ per $E L$ , $μ_{N}^{2} {f m}^{2 L - 2}$ per $M L$ ), che contiene tutta l'informazione sulla struttura nucleare. La dipendenza da $E_{γ}^{2 L + 1}$ è la ragione per cui i multipoli alti sono lenti: il fotone ha lunghezza d'onda $ℏ c / E_{γ} \sim 200 f m ≫ R$ , quindi l'ampiezza è soppressa da $(k R)^{L}$ per ogni unità di $L$ .

Weisskopf approssimò $B$ con la transizione di un protone da un orbitale a un altro con funzioni d'onda radiali costanti dentro il nucleo; le unità di Weisskopf sono

B_{W} (E L) = \frac{1}{4 π} (\frac{3}{L + 3})^{2} (r_{0} A^{1 / 3})^{2 L} e^{2} {f m}^{2 L}, B_{W} (E 1) = 0,0646 A^{2 / 3}, B_{W} (E 2) = 0,0594 A^{4 / 3} (e^{2} {f m}^{2 L}), B_{W} (M 1) = 1,79 μ_{N}^{2} .

Per $r_{0} = 1,2$ fm e $E$ in MeV, le velocità in s $^{- 1}$ sono (formule di Weisskopf):

Multipolo	$λ_{W}$ (s $^{- 1}$ )
$E 1$	$1,0 \times 10^{14} A^{2 / 3} E^{3}$
$E 2$	$7,3 \times 10^{7} A^{4 / 3} E^{5}$
$E 3$	$34 A^{2} E^{7}$
$E 4$	$1,1 \times 10^{- 5} A^{8 / 3} E^{9}$
$M 1$	$5,6 \times 10^{13} E^{3}$
$M 2$	$3,5 \times 10^{7} A^{2 / 3} E^{5}$

Le transizioni reali si esprimono in unità di Weisskopf (W.u.): $E 1$ sono tipicamente $10^{- 2}$ – $10^{- 5}$ W.u. (inibite dall'isospin), $M 1$ $\sim 0,1$ – $1$ W.u., $E 2$ da 1 a $\sim 200$ W.u. (le collettive nei nuclei deformati, argomento 4). I multipoli di ordine alto con $Δ J$ elevato hanno vite lunghissime.

Conversione interna

Il nucleo può diseccitarsi trasferendo l'energia direttamente a un elettrone atomico (soprattutto $K$ e $L$ ) tramite l'interazione elettromagnetica, senza fotone intermedio. L'elettrone esce con $T_{e} = E_{γ} - B_{e}$ . Il coefficiente di conversione è

α = \frac{λ_{e}}{λ_{γ}} = \frac{N_{e}}{N_{γ}}, λ_{t o t} = λ_{γ} (1 + α), α = α_{K} + α_{L} + \dots

Andamenti (non relativistici, validi per $Z$ non grande e solo come ordine di grandezza): $α_{K} (E L) \propto Z^{3} \frac{L}{L + 1} α^{4} (\frac{2 m_{e} c^{2}}{E_{γ}})^{L + 5 / 2}$ , $α_{K} (M L) \propto Z^{3} α^{4} (\frac{2 m_{e} c^{2}}{E_{γ}})^{L + 3 / 2}$ . Quindi la conversione è grande per $Z$ alto, energie basse e multipolarità alte. Per le transizioni $0^{+} \to 0^{+}$ ( $E 0$ ) un fotone è proibito e resta la sola conversione (o la creazione di coppie $e^{+} e^{-}$ per $E > 1,022$ MeV). Dopo la conversione, la lacuna atomica è riempita con emissione di raggi X caratteristici o di elettroni Auger.

Isomeri

Uno stato eccitato è detto isomero se la sua vita media è misurabile con mezzi ordinari (convenzionalmente $≳ 1$ ns). Cause: (1) grande $Δ J$ rispetto agli stati di energia inferiore (isomeria di spin): $^{137 m}$ Ba, $11 / 2^{-} \to 3 / 2^{+}$ ( $M 4$ ); (2) piccola energia di transizione; (3) numero quantico $K$ approssimativamente conservato nei nuclei deformati (isomeria $K$ , per esempio $^{178 m 2}$ Hf, $16^{+}$ , $T_{1 / 2} = 31$ a, $E \approx 2,45$ MeV); (4) isomeria di forma (isomeri di fissione). Il livello isomerico di $^{229}$ Th a circa 8,4 eV è l'unico stato nucleare eccitabile con i laser, ed è il candidato per un orologio nucleare (eccitato con laser e misurato spettroscopicamente a partire dal 2024: $8,3557$ eV).

Effetto Mössbauer

Nell'emissione di un $γ$ da un nucleo libero, il rinculo sposta l'energia di $E_{R} = E_{γ}^{2} / (2 M c^{2})$ e impedisce l'assorbimento risonante. In un cristallo, una frazione $f$ (Lamb–Mössbauer) delle emissioni avviene senza rinculo, perché il momento è assorbito dall'intero reticolo. Per $^{57}$ Fe, $E_{γ} = 14,4$ keV: $E_{R} = (14 400)^{2} / (2 \cdot 57 \cdot 931,5 \times 10^{6}) e V = 1,95 \times 10^{- 3}$ eV, mentre la larghezza naturale ( $τ = 141$ ns) è $Γ = ℏ / τ = 4,7 \times 10^{- 9}$ eV: dunque $E_{R} / Γ \sim 4 \times 10^{5}$ e senza l'effetto la risonanza non avverrebbe. Con la risoluzione relativa $Γ / E \sim 3 \times 10^{- 13}$ si misura lo spostamento gravitazionale verso il rosso: Pound e Rebka (1960) misurarono $Δ E / E = g h / c^{2} = 2,5 \times 10^{- 15}$ su 22,5 m.

Ricorda Lo spettro $γ$ è a righe e fornisce la «impronta digitale» del nucleo. L'intensità assoluta di un raggio $γ$ è l'intensità del ramo moltiplicata per $1 / (1 + α)$ .

Attenzione Le stime di Weisskopf sono limiti di riferimento, non previsioni: la velocità vera può discostarsi di diversi ordini di grandezza. La formula $α_{K} \propto Z^{3} \dots$ è solo una scala, e sbaglia di fattori fino a 10 a energie alte e $Z$ grandi: per valori numerici si usano le tabelle (BrIcc, per esempio). Inoltre non dimenticare $λ_{t o t} = λ_{γ} (1 + α)$ nei confronti con la vita media misurata.

Esempi svolti

E2 a 1 MeV, $A = 100$ . $λ = 7,3 \times 10^{7} \cdot 100^{4 / 3} \cdot 1^{5} = 7,3 \times 10^{7} \cdot 464,2 = 3,4 \times 10^{10} s^{- 1}$ , $τ = 29$ ps. Verifica con la formula generale: $B_{W} (E 2) = 0,0594 \cdot 464,2 = 27,6 e^{2} f m^{4}$ , $k = 1 / 197,33 = 5,07 \times 10^{- 3} f m^{- 1}$ , il fattore numerico è $8 π \cdot 3 / (2 \cdot 15^{2}) = 0,1676$ , e $λ = 0,1676 \cdot k^{5} \cdot B \cdot (1,44 M e V f m) / ℏ = 0,1676 \cdot 3,30 \times 10^{- 12} \cdot 27,6 \cdot 1,44 / 6,58 \times 10^{- 22} = 3,3 \times 10^{10} s^{- 1}$ .
$^{137 m}$ Ba. Il decadimento di $^{137}$ Cs ( $T_{1 / 2} = 30,1$ a) popola per il 94,4% il livello $11 / 2^{-}$ a 661,66 keV del $^{137}$ Ba (emivita 2,55 min), che decade per $M 4$ al fondamentale $3 / 2^{+}$ . La stima di Weisskopf per $M 4$ ( $λ \approx 4,5 \times 10^{- 6} A^{2} E^{9}$ ) dà $λ_{γ} \approx 4,5 \times 10^{- 6} \cdot 18 769 \cdot {0,6617}^{9} = 2,1 \times 10^{- 3} s^{- 1}$ ( $T_{1 / 2} \approx 5,5$ min), un fattore ~2 più lunga del valore sperimentale (153 s). Essendo $α_{t o t} \approx 0,11$ (ENSDF), l'intensità assoluta del $γ$ da 661,7 keV è $0,944 / (1 + 0,11) = 0,85$ , come tabulato (85%).

Applicazioni

Spettrometria $γ$ per l'identificazione dei radionuclidi (caratterizzazione del materiale, controllo ambientale), medicina nucleare ( $^{99 m}$ Tc, $T_{1 / 2} = 6,0$ h, $γ$ da 140,5 keV, che è il radionuclide più usato in diagnostica), spettroscopia Mössbauer (chimica, geologia, magnetismo), sorgenti di taratura ( $^{137}$ Cs, $^{60}$ Co, $^{152}$ Eu), orologi nucleari.

Collegamenti

Le regole di selezione usano lo spin e la parità dei livelli (3, 4); le transizioni $E 2$ collettive sono i B(E2) dei rotori (4). Il $γ$ accompagna $α$ e $β$ (7, 8). L'interazione con la materia è nell'argomento 13; la rivelazione nell'argomento 16.

Domande di verifica

Quali multipolarità e parità può avere una transizione $5 / 2^{+} \to 1 / 2^{+}$ ?
Risposta
$∣ 5 / 2 - 1 / 2 ∣ = 2 \leq L \leq 3$ : $L = 2, 3$ . Nessun cambio di parità: $E 2$ (parità $+$ ) ammesso, $M 3$ (parità $(- 1)^{4} = +$ ) ammesso; $E 3$ e $M 2$ no. Domina $E 2$ .
Calcola l'energia di rinculo di un nucleo $A = 100$ che emette un $γ$ da 1 MeV.
Risposta
$E_{R} = E^{2} / (2 M c^{2}) = (1)^{2} / (2 \cdot 100 \cdot 931,5) M e V = 5,4$ eV.
Se $α = 0,5$ e il $γ$ ha $τ_{γ} = 10$ ns, qual è la vita media dello stato?
Risposta
$λ_{t o t} = λ_{γ} (1 + α) = 1,5 / 10 n s$ , quindi $τ = 10 / 1,5 = 6,7$ ns.
Di quanto cambia la velocità $E 2$ di Weisskopf raddoppiando $E_{γ}$ ?
Risposta
Il fattore $E^{5}$ dà $2^{5} = 32$ : la vita media si riduce di un fattore 32.

Riassunto

Selezione: $∣ J_{i} - J_{f} ∣ \leq L \leq J_{i} + J_{f}$ ; $π (E L) = (- 1)^{L}$ , $π (M L) = (- 1)^{L + 1}$ .
$λ (σ L) \propto E^{2 L + 1} B (σ L)$ ; le formule di Weisskopf sono i riferimenti a particella singola.
La conversione interna compete con il $γ$ : $λ_{t o t} = λ_{γ} (1 + α)$ .
Isomeri per grande $Δ J$ , bassa energia o $K$ ; Mössbauer sfrutta transizioni senza rinculo.

Nel laboratorio: ·

Reazioni nucleari

Intuizione

In una reazione nucleare un proiettile $a$ colpisce un bersaglio $A$ e si formano uno o più prodotti: $a + A \to b + B$ . Gli osservabili sono le sezioni d'urto, cioè le probabilità di avvenimento di ogni canale in funzione dell'energia e dell'angolo. La loro struttura racconta il meccanismo: un urto diretto, in cui il proiettile cede energia a pochi nucleoni, oppure la formazione di un nucleo composto, in cui l'energia si ridistribuisce fra tutti i nucleoni prima dell'emissione.

Contesto storico

Rutherford realizzò nel 1919 la prima trasmutazione indotta, $^{14} N (α, p)^{17} O$ . Cockcroft e Walton (1932) fecero reagire protoni accelerati artificialmente su litio. Nel 1934 Irène e Frédéric Joliot-Curie scoprirono la radioattività artificiale. Fermi (1934) usò neutroni lenti. Niels Bohr propose nel 1936 il nucleo composto; Breit e Wigner (1936) formularono la forma della risonanza; Feshbach, Porter e Weisskopf (1954) introdussero il modello ottico, o «modello del cristallo nebuloso».

Il problema

Come si descrivono, a partire da principi, la cinematica, la soglia energetica, la probabilità di reazione e le risonanze? Come si collega il modello a una sezione d'urto misurata?

Definizioni

Notazione: $A (a, b) B$ .
Valore $Q$ (con masse nucleari o atomiche, nello stesso schema): $Q = [m_{a} + m_{A} - m_{b} - m_{B}] c^{2} = T_{b} + T_{B} - T_{a} - T_{A}$ . $Q > 0$ esotermica; $Q < 0$ endotermica.
Sezione d'urto $σ$ (in barn, $1 b = 10^{- 28} m^{2}$ ): numero di reazioni per unità di tempo e per nucleo bersaglio, diviso il flusso incidente. Per un bersaglio sottile con $n_{t}$ nuclei per unità di area, $Y = Φ n_{t} σ$ reazioni per unità di tempo. Le sezioni d'urto differenziali $d σ / d Ω$ descrivono la distribuzione angolare. La velocità di reazione per unità di volume è $R = n_{a} n_{A} ⟨ σ v ⟩$ .

Soglia

Per una reazione endotermica, nel riferimento del bersaglio fermo, l'energia cinetica minima del proiettile si ottiene imponendo che, nel centro di massa, i prodotti siano fermi: relativisticamente (esatto)

T_{s o g l i a} = - Q \frac{m_{a} + m_{A} + m_{b} + m_{B}}{2 m_{A}},

che per $∣ Q ∣ ≪ m c^{2}$ si riduce a $T_{s o g l i a} ≃ - Q (1 + m_{a} / m_{A})$ . Il fattore maggiore di 1 è l'energia cinetica del centro di massa, che non può essere convertita. Per reazioni esotermiche con particelle cariche, la soglia effettiva è la barriera coulombiana $V_{B} \approx \frac{Z_{a} Z_{A} e^{2}}{4 π ε_{0} (R_{a} + R_{A})}$ .

Scattering di Rutherford

Per l'urto elastico di due cariche puntiformi, classico e quantistico (nel potenziale coulombiano puro l'approssimazione di Born dà lo stesso risultato) si ha, nel centro di massa,

\frac{d σ}{d Ω} = (\frac{Z_{1} Z_{2} α ℏ c}{4 T})^{2} \frac{1}{\sin^{4} (θ / 2)}, d_{\min} = \frac{Z_{1} Z_{2} α ℏ c}{T} (urto frontale) .

Con $α ℏ c = 1,44$ MeV fm. Le deviazioni a corto raggio dal valore di Rutherford segnalano che il proiettile ha toccato il nucleo: da qui la stima del raggio d'azione della forza nucleare e il controllo della geometria negli esperimenti.

Sezione d'urto parziale e risonanze di Breit–Wigner

La sezione d'urto in onde parziali per un'onda di momento angolare $l$ ha un limite di unitarietà: $σ_{l}^{r e a z} \leq π {\overset{ˉ}{λ}}^{2} (2 l + 1)$ e $σ_{l}^{e l} \leq 4 π {\overset{ˉ}{λ}}^{2} (2 l + 1)$ , con $\overset{ˉ}{λ} = ℏ / p$ la lunghezza d'onda ridotta. Se l'energia coincide con un livello quasi-legato del nucleo composto, la fase di scattering passa rapidamente per $π / 2$ e la sezione d'urto per il canale $a \to b$ ha la forma di Breit–Wigner (a spin considerato):

σ_{a b} (E) = π {\overset{ˉ}{λ}}^{2} g \frac{Γ_{a} Γ_{b}}{(E - E_{R})^{2} + Γ^{2} / 4}, g = \frac{2 J + 1}{(2 s_{a} + 1) (2 s_{A} + 1)}, Γ = \sum_{c} Γ_{c} .

Al picco: $σ_{a b} (E_{R}) = 4 π {\overset{ˉ}{λ}}^{2} g Γ_{a} Γ_{b} / Γ^{2}$ . La larghezza totale è legata alla vita media dello stato: $τ = ℏ / Γ$ . Una risonanza stretta ( $Γ ≪$ distanza fra livelli) è isolata; quando $Γ ≳ D$ (distanza media fra livelli) i livelli si sovrappongono e la sezione d'urto diventa liscia (fluttuazioni di Ericson).

Nucleo composto, modello ottico, reazioni dirette

Nucleo composto (Bohr): il proiettile viene catturato e l'energia si condivide fra tutti i nucleoni; la formazione e il decadimento sono indipendenti, $σ (a \to b) = σ_{C N} (a) Γ_{b} / Γ$ . Tempo di vita $≳ 10^{- 18}$ s (molto maggiore del tempo di attraversamento $\sim 10^{- 22}$ s). L'emissione di particelle è «evaporazione»: spettro di tipo Maxwelliano $d N / d E \propto E e^{- E / Θ}$ , con temperatura nucleare $Θ = \sqrt{E^{*} / a}$ e parametro di densità dei livelli $a \approx A / 8$ MeV $^{- 1}$ (ordine di grandezza).
Modello ottico: l'interazione di un proiettile con un nucleo si descrive con un potenziale complesso $U = - V f (r) - i W g (r) + U_{l s} + U_{C}$ ; la parte immaginaria descrive la perdita di flusso verso canali non elastici. Con una scelta opportuna dei parametri (profondità $V \approx 40$ – $50$ MeV, $W \approx 5$ – $15$ MeV, a seconda dell'energia) riproduce le sezioni d'urto totale, elastica e di reazione e le distribuzioni angolari mediate.
Reazioni dirette (stripping $(d, p)$ , pick-up $(p, d)$ , scattering inelastico): vi partecipano pochi gradi di libertà, il tempo è breve, e le distribuzioni angolari hanno oscillazioni diffrattive con massimi dipendenti dal momento angolare trasferito $l$ . Le reazioni di trasferimento sono lo strumento per determinare i fattori spettroscopici (occupazione degli orbitali) e quindi per verificare il modello a shell (3).

Ricorda Per la sezione d'urto Rutherford, a energia $T$ fissata: $d σ / d Ω \propto (Z_{1} Z_{2})^{2} / T^{2}$ e $\propto \sin^{- 4} (θ / 2)$ . Il rapporto di sezioni a due angoli (o tra bersagli) non dipende dalla normalizzazione, ed è il principio del metodo di normalizzazione relativa e della retrodiffusione di Rutherford (RBS) per analisi di materiali.

Attenzione $T_{s o g l i a} \neq ∣ Q ∣$ : occorre il fattore cinematico. Il $Q$ si calcola con le masse atomiche solo se gli elettroni si compensano; in caso contrario (come nei decadimenti $β$ ) occorre contare le masse elettroniche. La formula di Breit–Wigner vale per una risonanza isolata; l'effetto della temperatura (allargamento Doppler) e della risoluzione sperimentale ne abbassa e allarga il picco.

Esempi svolti

$^{14}$ N $(α, p)^{17}$ O. Masse atomiche: $^{14}$ N $14,003074$ , $^{4}$ He $4,002603$ , $^{17}$ O $16,999132$ , $^{1}$ H $1,007825$ u. $Q = (14,003074 + 4,002603 - 16,999132 - 1,007825) \cdot 931,494 = - 0,001280 \cdot 931,494 = - 1,192$ MeV. Soglia (non relativistica): $T = 1,192 \cdot (1 + 4 / 14) = 1,53$ MeV nel laboratorio.
Rutherford, $α$ da 5,5 MeV su $^{197}$ Au. Trascurando il rinculo: distanza minima $d = 2 \cdot 79 \cdot 1,44 / 5,5 = 41,4$ fm (molto sopra il raggio nucleare $\approx 7,0$ fm: la barriera è $\approx 2 \cdot 79 \cdot 1,44 / (1,2 (4^{1 / 3} + 197^{1 / 3})) \approx 26$ MeV). A $θ = 90^{\circ}$ : $d σ / d Ω = (158 \cdot 1,44 / (4 \cdot 5,5))^{2} / \sin^{4} 45^{\circ} = (10,34 f m)^{2} / 0,25 = 428 f m^{2} / s r = 4,3$ b/sr.
Risonanza dei neutroni in $^{238}$ U a 6,67 eV (valori indicativi: $Γ_{n} \approx 1,5$ meV, $Γ_{γ} \approx 23$ meV, $J = 1 / 2$ , $g = 1$ ). $p c = \sqrt{2 m_{n} c^{2} E} = \sqrt{2 \cdot 939,6 \times 10^{6} \cdot 6,67} = 1,12 \times 10^{5}$ eV, $\overset{ˉ}{λ} = 197,3 \times 10^{6} / 1,12 \times 10^{5} = 1763$ fm. Allora $4 π {\overset{ˉ}{λ}}^{2} = 3,9 \times 10^{5}$ b e $σ_{n γ} (E_{R}) = 4 π {\overset{ˉ}{λ}}^{2} g Γ_{n} Γ_{γ} / Γ^{2} = 3,9 \times 10^{5} \cdot 0,057 \approx 2 \times 10^{4}$ b: una cattura enorme rispetto alla sezione geometrica ( $\approx 2$ b).

Applicazioni

Analisi di materiali con fasci ionici (RBS, PIXE, NRA), produzione di radioisotopi medici, sintesi di elementi superpesanti con reazioni di fusione–evaporazione, schermaggi e criticità nei reattori (sezioni d'urto di cattura e di fissione, argomento 11), astrofisica nucleare (misure dirette a bassa energia in laboratori sotterranei, come LUNA, argomento 12), spallazione per sorgenti neutroniche.

Collegamenti

L'interazione coulombiana ritorna in alfa (7) e fusione (12); le risonanze sono gli stessi stati discussi con i modelli a shell (3) e collettivi (4); la larghezza di una risonanza e la vita media sono la stessa grandezza (6).

Domande di verifica

Calcola il $Q$ di $d + d \to t + p$ con $m_{d} = 2,014102$ , $m_{t} = 3,016049$ , $m_{p} = 1,007825$ u (masse atomiche).
Risposta
$Q = (2 \cdot 2,014102 - 3,016049 - 1,007825) \cdot 931,494 = 0,004330 \cdot 931,494 = 4,03$ MeV.
Qual è la soglia della reazione $^{14}$ N $(α, p)^{17}$ O?
Risposta
$- Q = 1,19$ MeV e $T_{s o g l i a} = 1,19 \cdot (1 + 4 / 14) = 1,53$ MeV nel laboratorio; nel centro di massa solo $1,19$ MeV.
Con quale fattore cambia la sezione Rutherford se si dimezza l'energia, a parità di angolo?
Risposta
$d σ / d Ω \propto 1 / T^{2}$ : quadruplica ( $2^{2} = 4$ ).
Una risonanza ha $Γ = 0,1$ eV: qual è la vita media dello stato?
Risposta
$τ = ℏ / Γ = 6,58 \times 10^{- 16} e V s / 0,1 e V = 6,6 \times 10^{- 15}$ s.

Riassunto

$Q = Δ m c^{2}$ ; soglia $T = - Q (m_{a} + m_{A} + m_{b} + m_{B}) / (2 m_{A})$ .
Rutherford: $d σ / d Ω \propto (Z_{1} Z_{2} / 4 T)^{2} \sin^{- 4} (θ / 2)$ .
Breit–Wigner: $σ = π {\overset{ˉ}{λ}}^{2} g Γ_{a} Γ_{b} / [(E - E_{R})^{2} + Γ^{2} / 4]$ .
Meccanismi: nucleo composto, diretto, modello ottico per l'ingresso.

Nel laboratorio: ·

Fissione e reattori

Intuizione

Un nucleo pesante si comporta come una goccia carica: la tensione superficiale tende a mantenerla sferica, la repulsione coulombiana a spezzarla. Se la goccia viene eccitata (per esempio assorbendo un neutrone) può oscillare fino a strozzarsi e dividersi in due frammenti di massa comparabile. Poiché i frammenti hanno energia di legame per nucleone maggiore del nucleo di partenza, si liberano circa $200$ MeV per evento, cioè milioni di volte l'energia di una reazione chimica per atomo. Ogni fissione emette inoltre in media più di due neutroni: se uno di essi provoca una nuova fissione, si ha una reazione a catena.

Contesto storico

Hahn e Strassmann (dicembre 1938) identificarono bario tra i prodotti dell'irraggiamento neutronico dell'uranio; Meitner e Frisch interpretarono il risultato come divisione del nucleo e coniarono il termine «fissione» (1939). Bohr e Wheeler (1939) svilupparono la teoria con il modello a goccia liquida e spiegarono perché sono fissili con neutroni lenti $^{235}$ U e non $^{238}$ U. Fermi, Szilard e collaboratori realizzarono la prima pila critica (Chicago Pile-1) il 2 dicembre 1942. Il primo reattore a produzione di energia elettrica civile entrò in funzione negli anni Cinquanta.

Il problema

Quali nuclei possono fissionare, quanta energia si libera e come si distribuisce, e come si può sostenere una catena in modo controllabile, nonostante i neutroni pronti vivano meno di un millisecondo?

Il modello a goccia e il parametro di fissionabilità

Si deforma la goccia in uno sferoide di parametro di deformazione quadrupolare $α_{2}$ a volume costante. Al secondo ordine l'energia di superficie e quella coulombiana variano come

E_{S} = E_{S}^{(0)} (1 + \frac{2}{5} α_{2}^{2}), E_{C} = E_{C}^{(0)} (1 - \frac{1}{5} α_{2}^{2}),

con $E_{S}^{(0)} = a_{S} A^{2 / 3}$ e $E_{C}^{(0)} ≃ a_{C} Z^{2} / A^{1 / 3}$ . La variazione di energia vale

Δ E = \frac{α_{2}^{2}}{5} (2 E_{S}^{(0)} - E_{C}^{(0)}) .

La forma sferica è stabile se $E_{C}^{(0)} < 2 E_{S}^{(0)}$ . Si definisce quindi il parametro di fissionabilità

x = \frac{E_{C}^{(0)}}{2 E_{S}^{(0)}} = \frac{a_{C}}{2 a_{S}} \frac{Z^{2}}{A} = \frac{Z^{2} / A}{(Z^{2} / A)_{c r i t}}, (\frac{Z^{2}}{A})_{c r i t} = \frac{2 a_{S}}{a_{C}} ≃ 50.

Con $a_{S} = 17,8$ MeV e $a_{C} = 0,711$ MeV risulta $(Z^{2} / A)_{c r i t} = 50,1$ . Per $^{236}$ U ( $Z = 92$ ) si ha $Z^{2} / A = 35,9$ , cioè $x \approx 0,72$ . Per $x \to 1$ la barriera si annulla e il nucleo fissiona istantaneamente: ciò pone un limite di principio alla stabilità degli elementi superpesanti, che esistono solo grazie ai termini di shell, non contenuti nella goccia.

Barriera di fissione

A grandi deformazioni la superficie di energia potenziale $V (α_{2}, \dots)$ passa per un massimo (punto di sella) e poi decresce verso i due frammenti separati. L'altezza $B_{f}$ del massimo rispetto allo stato fondamentale è la barriera di fissione, dell'ordine di $5$ – $6$ MeV per gli attinidi (varia da nucleo a nucleo). I calcoli moderni aggiungono le correzioni di shell di Strutinsky, che producono una barriera a due gobbe e stati isomerici di fissione nella buca intermedia. Un nucleo composto con energia di eccitazione superiore a $B_{f}$ fissiona rapidamente; sotto $B_{f}$ fissiona per effetto tunnel (fissione spontanea, con la stessa matematica del decadimento $α$ , argomento 7).

Quando $^{235}$ U assorbe un neutrone termico, il nucleo composto $^{236}$ U ha un'eccitazione pari all'energia di separazione del neutrone, $\approx 6,5$ MeV, comparabile con $B_{f}$ : la fissione avviene con probabilità elevata senza energia cinetica del neutrone. Per $^{238}$ U $+ n$ il nucleo composto $^{239}$ U riceve soltanto $\approx 4,8$ MeV, perché $N$ pari–pari ha energia di appaiamento maggiore: la barriera non è superata e occorrono neutroni veloci con $E_{n} ≳ 1$ MeV (energie di separazione da AME2020: $6,55$ e $4,81$ MeV).

Energia rilasciata

L'energia per fissione si stima da $Q ≃ A Δ (B / A) \approx 236 (8,5 - 7,6) M e V \approx 212$ MeV, cioè dell'ordine di $200$ MeV. La ripartizione tipica (valori approssimati) è:

Forma	Energia (MeV)
Energia cinetica dei frammenti	$\approx 169$
Neutroni pronti	$\approx 5$
Fotoni $γ$ pronti	$\approx 7$
Particelle $β$ dai prodotti	$\approx 7$
Antineutrini (non recuperabili)	$\approx 9$
$γ$ ritardati	$\approx 6$
Totale	$\approx 203$

Escludendo gli antineutrini, che attraversano il reattore, l'energia depositabile è $\approx 194$ MeV, che diventa circa $200$ MeV con i $γ$ di cattura neutronica. Poiché la repulsione coulombiana dei frammenti è l'origine dei $\approx 169$ MeV, questa parte è circa l'energia coulombiana a scissione: per due frammenti $Z \approx 46$ , $A \approx 118$ a distanza $\approx 1,4 (A_{1}^{1 / 3} + A_{2}^{1 / 3})$ fm si trova $E \approx 46^{2} \cdot 1,44 / (13,7) \approx 222$ MeV, valore di ordine di grandezza corretto (la distanza effettiva è maggiore; la sistematica di Viola dà $\approx 170$ MeV per $^{236}$ U). Il ritardo di una frazione dell'energia ( $β$ , $γ$ ritardati) spiega il calore di decadimento che resta dopo lo spegnimento, circa il $6$ – $7 %$ della potenza nominale subito dopo, e che va rimosso.

Neutroni pronti e ritardati

Il numero medio di neutroni emessi per fissione è $ν \approx 2,43$ per $^{235}$ U con neutroni termici ( $ν \approx 2,87$ per $^{239}$ Pu). I neutroni pronti (oltre il $99 %$ ) sono emessi in $< 10^{- 14}$ s dai frammenti eccitati. I neutroni ritardati provengono dai decadimenti $β$ dei precursori: un prodotto di fissione decade $β$ in uno stato eccitato del figlio con energia sopra la soglia di separazione del neutrone, che quindi emette un neutrone con la vita media del precursore (da $\sim 0,2$ s a $\sim 55$ s, sei gruppi). La frazione ritardata è $β \approx 0,0065$ per $^{235}$ U e $\approx 0,0021$ per $^{239}$ Pu.

Fattore di moltiplicazione e reattività

Il fattore di moltiplicazione effettivo $k$ è il rapporto tra i neutroni di una generazione e quelli della precedente. Il reattore è sottocritico per $k < 1$ , critico per $k = 1$ , sovracritico per $k > 1$ . Per un mezzo infinito vale la formula dei quattro fattori

k_{\infty} = η f p ε, η = ν \frac{σ_{f}}{σ_{f} + σ_{γ}},

dove $η$ è il numero di neutroni per assorbimento nel combustibile, $f$ l'utilizzazione termica (frazione di neutroni lenti assorbiti nel combustibile), $p$ la probabilità di evitare la cattura risonante durante la moderazione e $ε$ il fattore di fissione veloce. Per $^{235}$ U termico $σ_{f} \approx 585$ b e $σ_{γ} \approx 99$ b danno $η \approx 2,43 \cdot 585 / 684 = 2,08$ ; per uranio naturale (abbondanza di $^{235}$ U dello $0,72 %$ , $σ_{a} (^{238} U) \approx 2,7$ b) $η \approx 2,43 \cdot 4,21 / 7,59 \approx 1,35$ . In un reattore finito si introducono le probabilità di non fuga $P_{F N L}$ (veloci) e $P_{T N L}$ (termici) e si ottiene la formula dei sei fattori $k = k_{\infty} P_{F N L} P_{T N L}$ . La reattività è

ρ = \frac{k - 1}{k}, ρ in pcm = 10^{5} ρ, ρ in dollari = \frac{ρ}{β} .

Moderazione e tipi di reattore

Le sezioni d'urto di fissione dell'uranio-235 crescono al diminuire dell'energia del neutrone, quindi conviene rallentare i neutroni da $\sim 2$ MeV a $0,025$ eV con urti elastici in un moderatore. Il decremento logaritmico medio dell'energia per urto è $ξ$ , e il numero di urti vale $n = \ln (E_{0} / E) / ξ$ : per $E_{0} / E = 2 \times 10^{6} / 0,025$ risulta $\ln = 18,2$ , cioè $\approx 18$ urti con $^{1}$ H ( $ξ = 1$ ), $\approx 25$ con $^{2}$ H ( $ξ = 0,725$ ), $\approx 115$ con $^{12}$ C ( $ξ = 0,158$ ). Un buon moderatore ha $ξ$ grande e assorbimento piccolo: acqua leggera (assorbe di più, serve uranio arricchito), acqua pesante (permette uranio naturale), grafite.

PWR e BWR: acqua leggera come moderatore e refrigerante, uranio arricchito $3$ – $5 %$ in $^{235}$ U.
CANDU: acqua pesante e uranio naturale.
Reattori veloci: nessun moderatore, refrigerante a metallo liquido (sodio); possono riprodurre combustibile ( $^{238} U \to^{239} P u$ ).
Sali fusi, gas ad alta temperatura: concetti di quarta generazione.

Cinetica puntuale

Per una densità neutronica $n (t)$ e un gruppo equivalente di precursori $C (t)$ :

\frac{d n}{d t} = \frac{ρ - β}{Λ} n + λ C, \frac{d C}{d t} = \frac{β}{Λ} n - λ C,

dove $Λ$ è il tempo di generazione dei neutroni pronti ( $\sim 10^{- 4}$ s in un reattore termico, $\sim 10^{- 7}$ s in uno veloce) e $λ \approx 0,08 s^{- 1}$ la costante di decadimento equivalente. Cercando soluzioni $n \propto e^{ω t}$ si ottiene l'equazione dell'ora (inhour): $ρ = Λ ω + β ω / (ω + λ)$ . Per $ρ < β$ e $Λ ω ≪ ρ$ la costante di tempo asintotica è il periodo $T ≃ (β - ρ) / (λ ρ)$ , preceduta da un salto pronto $n_{1} / n_{0} = β / (β - ρ)$ . Per $ρ > β$ la crescita è governata dai soli neutroni pronti, $T ≃ Λ / (ρ - β)$ : la condizione $ρ = β$ (un dollaro) è la criticità pronta. Il controllo è possibile perché il tempo medio effettivo di generazione, $Λ_{e f f} \approx Λ + β / λ \approx 0,08$ s, è dominato dai ritardati.

Ricorda I neutroni ritardati sono lo 0,65% del totale ma rendono controllabile il reattore: con soli pronti, un eccesso di reattività dello 0,1% darebbe una crescita con tempo di $\sim 0,1$ s (ordine di grandezza con $Λ = 10^{- 4}$ s), impossibile da governare meccanicamente.

Attenzione Il valore di $β$ dipende dal combustibile ( $0,0065$ per $^{235}$ U, $\approx 0,0021$ per $^{239}$ Pu); le cifre qui sono indicative. Il modello puntuale trascura la dipendenza spaziale, gli effetti di temperatura ( $ρ$ cambia con l'effetto Doppler, il vuoto, il moderatore) e il $^{135}$ Xe, veleno con $σ_{a} \sim 10^{6}$ b.

Errori comuni

Confondere $k$ con $ρ$ : un reattore è critico per $k = 1$ ( $ρ = 0$ ), non per $ρ = 1$ .
Credere che il reattore sia una bomba lenta: nel reattore $ρ < β$ e l'arricchimento è molto inferiore al $90 %$ .
Attribuire l'energia di fissione alla «rottura di legami»: viene dalla differenza di energia di legame nucleare.

Esempio numerico

Un reattore ha $ρ = 0,001$ (100 pcm), $β = 0,0065$ , $λ = 0,08 s^{- 1}$ , $Λ = 10^{- 4}$ s. In dollari $ρ / β = 0,154$ . Il salto pronto è $β / (β - ρ) = 1,18$ . Il periodo è $T = (0,0065 - 0,001) / (0,08 \cdot 0,001) = 68,8$ s, quindi la potenza raddoppia ogni $T \ln 2 \approx 48$ s. (L'esercizio 7 dell'argomento 17 conferma il valore con la radice esatta dell'equazione quadratica: $68,9$ s.)

Applicazioni

Produzione elettrica ( $\approx 10 %$ dell'elettricità mondiale), propulsione navale, produzione di radioisotopi, sorgenti di neutroni, ricerca con neutroni, trasmutazione di scorie in sistemi guidati da acceleratore.

Collegamenti

Il modello a goccia è nell'argomento 2; la barriera ripete la fisica del tunnel (7) e le sezioni d'urto di cattura e risonanze sono nell'argomento 10; il $^{235}$ U e il suo periodo si legano alla radioattività (6).

Domande di verifica

Calcola $Z^{2} / A$ per $^{239}$ Pu ( $Z = 94$ , $A = 239$ ) e confrontalo con $50$ .
Risposta
$94^{2} / 239 = 8836 / 239 = 37,0$ , cioè $x \approx 0,74$ : più fissionabile dell'uranio ma lontano dal limite.
Quanti urti con il grafite servono per portare un neutrone da $2$ MeV a $0,025$ eV?
Risposta
$n = \ln (8 \times 10^{7}) / 0,158 = 18,2 / 0,158 \approx 115$ .
Per $ρ = 0,0035$ qual è il periodo asintotico (approssimato)?
Risposta
$T = (0,0065 - 0,0035) / (0,08 \cdot 0,0035) = 0,003 / 0,00028 = 10,7$ s; la radice esatta dà $10,8$ s.
Perché $^{238}$ U non sostiene la catena con neutroni termici?
Risposta
$^{239}$ U ha energia di eccitazione di soli $\approx 4,8$ MeV, inferiore alla barriera: serve un neutrone con almeno $\sim 1$ MeV.

Riassunto

$x = (Z^{2} / A) / (2 a_{S} / a_{C}) \approx (Z^{2} / A) / 50$ ; barriera $B_{f} \approx 5$ – $6$ MeV negli attinidi.
Energia per fissione $\approx 200$ MeV, dei quali $\approx 169$ MeV in energia cinetica dei frammenti.
$k_{\infty} = η f p ε$ , $ρ = (k - 1) / k$ ; ritardati $β \approx 0,0065$ rendono il controllo possibile.
Cinetica puntuale: periodo $T ≃ (β - ρ) / (λ ρ)$ ; criticità pronta per $ρ = β$ .

Nel laboratorio: ·

Fusione e nucleosintesi

Intuizione

Due nuclei leggeri che si fondono liberano energia, perché il prodotto sta più vicino al massimo dell'energia di legame per nucleone. Il problema è la repulsione coulombiana: per toccarsi i nuclei devono avvicinarsi a pochi femtometri, ma la barriera è di centinaia di keV mentre l'energia termica al centro del Sole è di circa $1,3$ keV. La fusione avviene grazie a due fattori complementari: la coda ad alta energia della distribuzione di Maxwell–Boltzmann e l'effetto tunnel. Il prodotto di una funzione decrescente (Boltzmann) e di una crescente (penetrazione) ha un massimo stretto, il picco di Gamow, che determina la velocità di reazione.

Contesto storico

Eddington (1920) propose che le stelle brillino per fusione dell'idrogeno in elio. Gamow (1928) calcolò la penetrazione della barriera, e Atkinson e Houtermans (1929) la applicarono alle stelle. Bethe (1938–39) e, indipendentemente, von Weizsäcker identificarono la catena protone–protone e il ciclo CNO (Nobel a Bethe, 1967). Burbidge, Burbidge, Fowler e Hoyle (B $^{2}$ FH, 1957) e Cameron (1957) costruirono la teoria della nucleosintesi stellare. Il primo ordigno a fusione è del 1952; il progetto di reattore a confinamento magnetico (tokamak) risale ai lavori sovietici degli anni Cinquanta.

Il problema

Come si calcola la velocità di una reazione di fusione a una temperatura data? Quali condizioni di temperatura, densità e tempo di confinamento permettono a un plasma di produrre più energia di quella che perde? E come, a partire da idrogeno e elio, sono nati gli elementi più pesanti?

Barriera di Coulomb, tunnel e fattore di Gamow

La barriera tra due nuclei di numeri atomici $Z_{1}, Z_{2}$ è, al contatto,

V_{C} ≃ \frac{Z_{1} Z_{2} α ℏ c}{r_{0} (A_{1}^{1 / 3} + A_{2}^{1 / 3})},

con $α ℏ c = 1,44$ MeV fm e $r_{0} \approx 1,2$ fm; per D–T si ottiene $V_{C} \approx 0,44$ MeV. Alle energie del plasma la sezione d'urto è soppressa dalla penetrazione di Gamow, calcolata con l'approssimazione WKB come per il decadimento $α$ (argomento 7):

P (E) ≃ \exp ⁣ (- \sqrt{E_{G} / E}), E_{G} = 2 μ c^{2} (π α Z_{1} Z_{2})^{2},

con $μ$ la massa ridotta e $E_{G}$ l'energia di Gamow. Si fattorizza la sezione d'urto separando la dipendenza dalla barriera da quella nucleare:

σ (E) = \frac{S (E)}{E} \exp ⁣ (- \sqrt{E_{G} / E}) .

Il fattore $1 / E$ proviene da $π {\overset{ˉ}{λ}}^{2} \propto 1 / E$ (argomento 10) e $S (E)$ , l'S-factor, è una funzione lentamente variabile contenente la fisica nucleare (esclude la barriera e il fattore geometrico). Le risonanze compaiono come picchi di $S$ : per D–T c'è uno stato di $^{5}$ He a $E_{c m} \approx 64$ keV che porta la sezione d'urto a $\approx 5$ b.

Velocità di reazione e picco di Gamow

Per un plasma termico alla temperatura $T$ , la velocità di reazione per coppia è

⟨ σ v ⟩ = \sqrt{\frac{8}{π μ}} (k T)^{- 3 / 2} \int_{0}^{\infty} S (E) e^{- E / k T - \sqrt{E_{G} / E}} d E .

L'integrando è il prodotto di $e^{- E / k T}$ e di $e^{- \sqrt{E_{G} / E}}$ . Il suo massimo si trova imponendo che sia stazionario l'esponente $f (E) = E / k T + \sqrt{E_{G} / E}$ : da $f^{'} (E) = 0$ segue $1 / k T = \frac{1}{2} \sqrt{E_{G}} E^{- 3 / 2}$ , cioè

E_{0} = (\frac{b k T}{2})^{2 / 3}, b = \sqrt{E_{G}} = π α Z_{1} Z_{2} \sqrt{2 μ c^{2}} .

Approssimando l'integrando con una gaussiana attorno a $E_{0}$ si ottiene la larghezza ( $1 / e$ ) $Δ = \frac{4}{\sqrt{3}} \sqrt{E_{0} k T}$ e l'esponente $τ = 3 E_{0} / k T = 3 (E_{G} / 4 k T)^{1 / 3}$ , per cui $⟨ σ v ⟩ \propto T^{- 2 / 3} \exp (- τ)$ . La dipendenza da $T$ è quindi estremamente ripida: localmente $⟨ σ v ⟩ \propto T^{τ / 3 - 2 / 3}$ . Per la catena pp nel Sole ( $k T \approx 1,3$ keV, $E_{G} \approx 493$ keV) si ottiene $E_{0} \approx 5,9$ keV; per D–T a $k T = 10$ keV risulta $E_{0} \approx 30,9$ keV, ben al di sopra di $k T$ (esercizio 5 dell'argomento 17).

Catena pp e ciclo CNO

La catena pp trasforma quattro protoni in $^{4}$ He: $4 p \to^{4} H e + 2 e^{+} + 2 ν_{e}$ , con $Q \approx 26,7$ MeV (una piccola frazione, $\approx 0,5$ MeV, portata via dai neutrini). Il primo passo $p + p \to d + e^{+} + ν_{e}$ è mediato dall'interazione debole: la sezione d'urto è dell'ordine di $10^{- 47}$ cm² e per questo il Sole vive $\sim 10^{10}$ anni invece di esaurirsi in pochi secondi. I passi successivi ( $d + p \to^{3} H e + γ$ , poi la fusione $^{3} H e +^{3} H e$ o $^{3} H e +^{4} H e$ ) sono forti o elettromagnetici e molto più rapidi.

Nel ciclo CNO i nuclei di $^{12}$ C, $^{14}$ N e $^{16}$ O fungono da catalizzatori: $^{12} C (p, γ)^{13} N (β^{+})^{13} C (p, γ)^{14} N (p, γ)^{15} O (β^{+})^{15} N (p, α)^{12} C$ . Il passo lento è $^{14} N (p, γ)^{15} O$ . La barriera maggiore ( $Z = 6, 7$ ) rende il ciclo molto più sensibile alla temperatura ( $\propto T^{16}$ – $T^{20}$ per $T \approx (1$ – $2) \times 10^{7}$ K) della catena pp ( $\propto T^{4}$ nel Sole): il CNO contribuisce circa all' $1 %$ dell'energia solare, ma domina nelle stelle più massicce ( $M ≳ 1,3 M_{⊙}$ ). I neutrini CNO sono stati osservati da Borexino.

Criterio di Lawson e confinamento

Per la reazione D + T $\to^{4} H e (3,52 MeV) + n (14,07 MeV)$ , con $Q = 17,59$ MeV, solo le $α$ (frazione $0,2$ di $Q$ ) restano nel plasma e lo riscaldano. Con densità ioniche $n_{D} = n_{T} = n / 2$ , il riscaldamento da $α$ è $P_{α} = \frac{1}{4} n^{2} ⟨ σ v ⟩ E_{α}$ e le perdite sono $P_{l o s s} = 3 n k T / τ_{E}$ (energia termica di ioni ed elettroni divisa per il tempo di confinamento dell'energia). L'ignizione richiede $P_{α} \geq P_{l o s s}$ :

n τ_{E} \geq \frac{12 k T}{⟨ σ v ⟩ E_{α}} ⟹ n T τ_{E} \geq \frac{12 (k T)^{2}}{⟨ σ v ⟩ E_{α}} ≃ 3 \times 10^{21} k e V s m^{- 3} .

Il valore numerico si ottiene alla temperatura dove il rapporto $T^{2} / ⟨ σ v ⟩$ è minimo, $T \approx 10$ – $20$ keV; a 10 keV $⟨ σ v ⟩ \approx 1,1 \times 10^{- 22} m^{3} / s$ dà $n τ_{E} = 12 \cdot 10 / (1,1 \times 10^{- 22} \cdot 3520) = 3,1 \times 10^{20} s / m^{3}$ e un triplo prodotto $\approx 3 \times 10^{21}$ keV s m $^{- 3}$ . Si può raggiungerlo in due modi: confinamento magnetico (tokamak, stellarator; $n \sim 10^{20} m^{- 3}$ , $τ_{E} \sim$ qualche secondo) o inerziale (laser su capsule, $n$ enorme e $τ \sim$ ns). Nel dicembre 2022 la National Ignition Facility ha riportato guadagno di energia di bersaglio maggiore di 1 ( $3,15$ MJ prodotti con $2,05$ MJ di laser sul bersaglio, guadagno $\approx 1,5$ ). Il D–T è il combustibile più accessibile per via della risonanza e della barriera bassa; il trizio, con $T_{1 / 2} = 12,3$ anni, va prodotto da litio ( $n +^{6} L i \to t + α$ ).

Nucleosintesi

Big Bang (da circa 3 a 20 minuti): si formano $^{4}$ He (frazione in massa $\approx 0,25$ ), D ( $D / H \sim 2,5 \times 10^{- 5}$ ), $^{3}$ He e tracce di $^{7}$ Li. La produzione si ferma per l'assenza di nuclei stabili con $A = 5$ e $A = 8$ e per il rapido raffreddamento. Il valore predetto per $^{7}$ Li è circa tre volte quello osservato (il «problema del litio»).
Stelle: combustione di H, poi $3 α \to^{12}$ C attraverso lo stato di Hoyle ( $0^{+}$ a $7,65$ MeV in $^{12}$ C), poi C, Ne, O, Si fino al gruppo del ferro, dove la fusione smette di essere esotermica.
Processo s (lento): le catture neutroniche sono più lente dei decadimenti $β$ e la catena segue la valle di stabilità (stelle AGB); produce i picchi a $A \approx 88, 138, 208$ .
Processo r (rapido): densità neutroniche altissime, catture molto più veloci dei $β$ lungo nuclei ricchi di neutroni; è associato alle fusioni di stelle di neutroni (kilonova di GW170817) e produce i picchi a $A \approx 80, 130, 195$ vicino ai numeri magici $N = 50, 82, 126$ (argomento 10 per le sezioni d'urto di cattura).

Ricorda Il picco di Gamow non è né alla $k T$ né alla barriera: è una media geometrica, $E_{0} \sim (E_{G} (k T)^{2} / 4)^{1 / 3}$ . Per D–T a 10 keV vale $30,9$ keV, tre volte $k T$ e molto sotto $V_{C} = 440$ keV.

Attenzione L'approssimazione gaussiana vale solo se $τ ≫ 1$ ; la formula del picco non include risonanze né screening elettronico (che abbassa la barriera nelle stelle). Il triplo prodotto è una soglia, non un obiettivo ingegneristico: dipende dalle perdite per irraggiamento (bremsstrahlung) e dalla purezza del plasma.

Errori comuni

Pensare che il Sole fonda perché $k T$ supera la barriera: $k T \approx 1,3$ keV è mille volte inferiore a $V_{C}$ .
Confondere $S (E)$ con la sezione d'urto: $S$ non contiene la soppressione di Gamow.
Dimenticare che dei 17,59 MeV di D–T l' $80 %$ è nei neutroni e non riscalda il plasma.

Esempio numerico

Per D–T: $μ c^{2} = \frac{2,014 \cdot 3,016}{5,030} \cdot 931,5 = 1124,9$ MeV, quindi $E_{G} = 2 \cdot 1124,9 \cdot (π / 137,036)^{2} = 1,182$ MeV $= 1182$ keV e $b = 34,4$ keV $^{1 / 2}$ . A $k T = 10$ keV: $E_{0} = (34,4 \cdot 10 / 2)^{2 / 3} = 30,9$ keV, $Δ = \frac{4}{\sqrt{3}} \sqrt{30,9 \cdot 10} = 40,6$ keV, $τ = 3 \cdot 30,9 / 10 = 9,3$ .

Applicazioni

Energia da fusione (ITER, DEMO), armi, produzione di neutroni da 14 MeV per la ricerca, astrofisica nucleare e neutrini solari.

Collegamenti

La penetrazione di Gamow è la stessa del decadimento $α$ (7). Le sezioni d'urto e le risonanze nelle reazioni stellari sono trattate nell'argomento 10 (si veda il pannello Reazioni). L'energia di legame per nucleone spiega perché si arrivi al ferro (2).

Domande di verifica

Calcola $E_{G}$ per $p + p$ con $μ c^{2} = 469,1$ MeV.
Risposta
$E_{G} = 2 \cdot 469,1 \cdot (π / 137,036)^{2} = 493$ keV; per $k T = 1,3$ keV risulta $E_{0} = 5,9$ keV.
Perché la prima reazione della catena pp è così lenta?
Risposta
Richiede la conversione debole $p \to n$ durante l'urto (sezione dell'ordine di $10^{- 47}$ cm²), non la sola penetrazione coulombiana.
Quanto vale il rapporto energia delle $α$ su $Q$ in D–T?
Risposta
$3,52 / 17,59 = 0,20$ ; il resto va al neutrone.
Qual è il significato di $τ = 3 E_{0} / k T$ ?
Risposta
È l'esponente che controlla la dipendenza dalla temperatura: $⟨ σ v ⟩ \propto e^{- τ}$ ; $τ \approx 9,3$ per D–T a 10 keV.

Riassunto

$σ = S (E) E^{- 1} e^{- \sqrt{E_{G} / E}}$ , $E_{G} = 2 μ c^{2} (π α Z_{1} Z_{2})^{2}$ .
Picco di Gamow $E_{0} = (b k T / 2)^{2 / 3}$ ; $Δ = 4 \sqrt{E_{0} k T / 3}$ .
Lawson D–T: $n T τ_{E} ≳ 3 \times 10^{21}$ keV s m $^{- 3}$ .
pp domina nel Sole, CNO nelle stelle massicce; r e s producono gli elementi oltre il ferro.

Nel laboratorio:

Radiazione e materia

Intuizione

Ogni rivelatore, ogni schermo e ogni dose si basano su un unico fatto: la radiazione, passando nella materia, cede energia agli elettroni degli atomi. Una particella carica pesante procede in linea retta perdendo energia in moltissimi piccoli urti e si ferma a una profondità ben definita; un fotone, invece, o attraversa indisturbato o viene eliminato con un singolo evento, e la sua intensità decresce in modo esponenziale; un neutrone, privo di carica, interagisce solo con i nuclei e penetra moltissimo.

Contesto storico

Bohr (1913, 1915) e Bethe (1930) derivarono la perdita di energia per ionizzazione, Bloch (1933) ne diede la correzione relativistica. Bragg e Kleeman (1904) osservarono che l'ionizzazione di una particella $α$ ha un massimo vicino alla fine del percorso. Compton (1923) misurò lo spostamento di lunghezza d'onda dei raggi X diffusi, prova decisiva della natura corpuscolare della luce. Anderson (1932) vide il positrone prodotto da raggi cosmici. Röntgen (1895) aveva già scoperto i raggi X; l'unità di dose assorbita porta il nome di Louis Harold Gray.

Il problema

Quanta energia perde una particella per unità di percorso, quanto si spinge in profondità, come si attenua un fascio di fotoni, e come si traduce l'energia depositata in un danno biologico confrontabile tra tipi diversi di radiazione?

Particelle cariche pesanti: Bethe–Bloch

Per una particella di carica $z e$ e velocità $β c$ ( $≫$ massa dell'elettrone) in un mezzo di numero atomico $Z$ e numero di massa $A$ , la perdita di energia media per ionizzazione è

- ⟨ \frac{d E}{d x} ⟩ = K z^{2} \frac{Z}{A} \frac{1}{β^{2}} [\frac{1}{2} \ln \frac{2 m_{e} c^{2} β^{2} γ^{2} T_{\max}}{I^{2}} - β^{2} - \frac{δ (β γ)}{2}], K = 0,307 M e V c m^{2} / m o l .

Qui $T_{\max}$ è la massima energia trasferibile a un elettrone in un singolo urto, $I \approx 10 Z$ eV (stima, per $Z > 20$ ) l'energia media di eccitazione del mezzo e $δ$ la correzione di densità, importante ad alta energia. Gli aspetti qualitativi sono:

Dipendenza da $z^{2} / β^{2}$ : a bassa velocità domina il fattore $1 / β^{2}$ . Un $α$ perde energia quattro volte più di un protone alla stessa velocità.
Minimo di ionizzazione a $β γ \approx 3$ – $3,5$ , dove $- d E / d x \approx 2$ MeV cm²/g per quasi tutti i materiali; i muoni cosmici sono tipici particelle al minimo.
Risalita relativistica logaritmica, limitata dalla correzione di densità $δ$ .
Indipendenza dalla massa della particella incidente: dipende da $z$ e $β$ .

Il picco di Bragg nasce dalla crescita di $1 / β^{2}$ quando la particella rallenta: il potere frenante cresce vicino alla fine della traccia e poi crolla quando la particella si ferma. La portata è $R = \int_{0}^{T} d E / (- d E / d x)$ e scala come $R \propto T^{1,7}$ – $T^{1,8}$ per i protoni (a energia moderata). Per le $α$ in aria vale la regola empirica di Geiger $R [c m] \approx 0,31 T^{3 / 2} [M e V]$ per $4 < T < 7$ MeV, cioè $3,5$ cm a 5 MeV. Protoni da 150 MeV hanno una portata in acqua di $\approx 16$ cm (NIST PSTAR), usata in adroterapia per concentrare la dose sul tumore.

Elettroni e bremsstrahlung

Anche gli elettroni perdono energia per ionizzazione, con una formula modificata per l'identità dei bersagli e per la massa piccola, ma a energie elevate subiscono forte decelerazione dal campo dei nuclei ed emettono fotoni, la radiazione di frenamento. La perdita radiativa è proporzionale a $E$ : $- d E / d x = E / X_{0}$ , con $X_{0}$ la lunghezza di radiazione ( $X_{0} \approx 36$ g/cm² per l'acqua, $6,4$ g/cm² per il piombo, PDG). L'energia critica $E_{c}$ dove le due perdite si uguagliano è $E_{c} \approx 800 M e V / (Z + 1,2)$ , circa $9,6$ MeV nel piombo con questa formula (la definizione della PDG, $E_{c} \approx 610 M e V / (Z + 1,24)$ per i solidi, dà $7,4$ MeV). Il rapporto delle perdite radiativa e collisionale è circa $Z E / (800 M e V)$ : per questo si schermano gli elettroni con materiali a $Z$ basso (per limitare i fotoni di frenamento). Un elettrone più veloce della luce nel mezzo ( $β > 1 / n$ ) emette luce Cherenkov.

Fotoni

Un fotone interagisce in modo discreto e il suo destino è l'assorbimento o la deviazione. I tre processi principali sono:

Effetto fotoelettrico: il fotone è assorbito da un elettrone atomico, che esce con $T_{e} = E_{γ} - B_{e}$ . La sezione d'urto cresce come $Z^{4 – 5}$ e decresce come $E_{γ}^{- 3,5}$ circa: domina a bassa energia e per $Z$ alto (da cui l'uso del piombo come schermo).
Effetto Compton: urto con un elettrone quasi libero. Dalla conservazione di energia e impulso segue il cambio di lunghezza d'onda

Δ λ = λ^{'} - λ = λ_{C} (1 - \cos θ), λ_{C} = \frac{h}{m_{e} c} = 2,426 p m, E^{'} = \frac{E}{1 + \frac{E}{m_{e} c^{2}} (1 - \cos θ)} .

La sezione d'urto per elettrone è data dalla formula di Klein–Nishina, che tende al valore di Thomson $σ_{T} = 0,665$ b per $E ≪ m_{e} c^{2}$ ; la sezione per atomo scala come $Z$ . Domina da $\sim 0,1$ a $\sim 10$ MeV nei materiali leggeri.

Produzione di coppie: il fotone, nel campo di un nucleo, si converte in $e^{+} e^{-}$ per $E_{γ} > 2 m_{e} c^{2} = 1,022$ MeV (soglia $4 m_{e} c^{2}$ sul campo di un elettrone). La sezione cresce come $Z^{2}$ e con il logaritmo di $E$ , e domina sopra circa $10$ MeV nel piombo (e alcune decine di MeV nell'acqua).

Attenuazione esponenziale

Poiché ogni evento rimuove il fotone dal fascio con probabilità $μ d x$ indipendente dalla storia, l'intensità del fascio collimato segue

I (x) = I_{0} e^{- μ x}, μ = n σ_{t o t} = \frac{ρ N_{A}}{A} σ_{t o t}, x_{1 / 2} = \frac{\ln 2}{μ} .

Il coefficiente di attenuazione lineare $μ$ si misura in cm $^{- 1}$ e quello di massa $μ / ρ$ in cm²/g, che è il valore tabulato. Per l'acqua a $1$ MeV, $μ / ρ \approx 0,0707$ cm²/g, quindi $μ = 0,0707$ cm $^{- 1}$ e lo spessore di dimezzamento è $x_{1 / 2} = 9,8$ cm. Il «coefficiente di assorbimento» $μ_{e n}$ conta solo l'energia effettivamente depositata (esclude i fotoni diffusi che escono), ed è quello rilevante per la dose. Per fasci larghi si aggiunge un fattore di build-up $B > 1$ che tiene conto dei fotoni diffusi.

Neutroni

I neutroni non ionizzano direttamente: interagiscono con i nuclei attraverso scattering elastico (cedendo energia ai nuclei di rinculo, massima per l'idrogeno), scattering inelastico, cattura radiativa $(n, γ)$ e reazioni nucleari. La schermatura è quindi in due stadi: moderare con materiali ricchi di idrogeno (acqua, polietilene) e poi assorbire (boro, cadmio). La cattura $^{10} B (n, α)^{7} L i$ ha $σ \approx 3840$ b a energia termica ed è alla base di rivelatori e di terapie sperimentali. A differenza dei fotoni, la sezione d'urto dipende fortemente dall'isotopo e dall'energia, con risonanze (argomento 10).

Dosimetria

Dose assorbita $D$ : energia depositata per unità di massa, $1 G y = 1 J / k g$ .
Dose equivalente $H_{T} = \sum_{R} w_{R} D_{T, R}$ (in sievert), con fattori di peso della radiazione $w_{R}$ : $1$ per fotoni ed elettroni, $2$ per protoni, $20$ per particelle $α$ e frammenti di fissione, funzione continua dell'energia per i neutroni ( $\approx 2,5$ – $21$ ) (ICRP 103).
Dose efficace $E = \sum_{T} w_{T} H_{T}$ , con pesi tissutali $w_{T}$ (ICRP 103, per esempio $0,12$ per polmone, midollo osseo, colon, stomaco, mammella e per il gruppo «altri tessuti», $0,08$ per le gonadi, $0,04$ per vescica, esofago, fegato e tiroide, $0,01$ per cervello, pelle, superficie ossea e ghiandole salivari; la somma è $1$ ).

La dose media da fondo naturale è $\approx 2,4$ mSv/anno (valore mondiale UNSCEAR). I limiti ICRP sono 1 mSv/anno per il pubblico e 20 mSv/anno (media su 5 anni) per i lavoratori.

Rivelatori

Gassosi (camera a ionizzazione, proporzionale, Geiger–Müller): $W \approx 34$ eV per coppia ione-elettrone in aria.
Scintillatori (NaI(Tl), plastici, LaBr $_{3}$ ): alta efficienza, risoluzione $\approx 7 %$ a $662$ keV per NaI(Tl).
Semiconduttori (Si, HPGe): $W \approx 3$ eV, risoluzione $\approx 0,15 %$ a $1,33$ MeV per HPGe.

Ricorda Il decadimento esponenziale dei nuclei e l'attenuazione esponenziale dei fotoni hanno la stessa struttura matematica: $μ$ è una «costante di decadimento spaziale» e $1 / μ$ è il cammino libero medio, come $1 / λ$ è la vita media (argomento 6).

Attenzione Bethe–Bloch non vale per velocità basse ( $β ≲ 0,05$ , dove entrano la cattura di elettroni e la carica efficace) né per gli elettroni; il picco di Bragg è molto più stretto per i protoni che per gli elettroni, che hanno straggling elevato. Il sievert non è un'energia misurabile: è una dose pesata per il rischio.

Errori comuni

Confondere Gy e Sv: stessa dimensione (J/kg) ma significato diverso.
Usare $μ / ρ$ come se fosse $μ$ : servono la densità e lo spessore in g/cm².
Pensare che l'energia di un fotone Compton sia tutta ceduta: parte resta nel fotone diffuso.

Esempio numerico

Un fotone da $662$ keV (da $^{137}$ Cs) è diffuso a $90^{\circ}$ : $Δ λ = 2,426$ pm; $E^{'} = 662 / (1 + 662 / 511) = 662 / 2,295 = 288$ keV. Per $θ = 180^{\circ}$ : $E^{'} = 662 / (1 + 2 \cdot 1,296) = 184$ keV, e l'elettrone ha $T = 478$ keV (bordo Compton). Un fascio da 1 MeV in $20$ cm di acqua è attenuato di $e^{- 0,0707 \cdot 20} = 0,24$ .

Applicazioni

Radioterapia con fotoni e adroterapia con protoni e ioni carbonio, radiografia e TC, gammagrafia, radioprotezione, datazione e analisi di materiali, rivelatori per fisica delle particelle (che usano lo stesso formalismo).

Collegamenti

La sorgente di radiazione sono i decadimenti $α$ , $β$ e $γ$ (7, 8, 9). Le sezioni d'urto nucleari per neutroni sono nell'argomento 10; le tecniche di misura sono nell'argomento 16.

Domande di verifica

Quanto vale lo spessore di dimezzamento del piombo se $μ = 1,25$ cm $^{- 1}$ a 662 keV?
Risposta
$x_{1 / 2} = \ln 2 / 1,25 = 0,55$ cm.
Che energia ha il fotone Compton diffuso a $90^{\circ}$ per $E = 1$ MeV?
Risposta
$E^{'} = 1 / (1 + 1 / 0,511) = 0,338$ MeV.
Quale rapporto di dose equivalente si ha, a parità di dose assorbita, tra particelle $α$ e fotoni?
Risposta
$w_{R} (α) / w_{R} (γ) = 20$ .
Perché una $α$ da 5 MeV si ferma in aria in pochi cm?
Risposta
$z^{2} = 4$ e bassa velocità ( $β \approx 0,05$ ): $- d E / d x$ elevato; $R \approx 0,31 \cdot 5^{3 / 2} = 3,5$ cm.

Riassunto

Bethe–Bloch: $- d E / d x \propto z^{2} (Z / A) β^{- 2} [\ln (\dots) - β^{2} - δ / 2]$ ; minimo a $β γ \approx 3$ , picco di Bragg a fine percorso.
Elettroni: ionizzazione e bremsstrahlung, $E_{c} \approx 800 M e V / (Z + 1,2)$ .
Fotoni: fotoelettrico, Compton ( $Δ λ = λ_{C} (1 - \cos θ)$ ), coppie; $I = I_{0} e^{- μ x}$ .
Gy $=$ J/kg, Sv con $w_{R}$ e $w_{T}$ .

Nel laboratorio:

Dalla QCD ai nuclei

Intuizione

Protoni e neutroni non sono puntiformi: sono stati legati di tre quark tenuti insieme da gluoni. La teoria fondamentale è la cromodinamica quantistica (QCD). I quark e i gluoni non esistono mai isolati, ma solo in adroni incolori; la forza tra i nucleoni è il residuo della forza di colore, nello stesso modo in cui la forza di van der Waals tra molecole neutre è il residuo della forza elettromagnetica tra le cariche. A distanze piccole, invece, i quark si comportano quasi come particelle libere: è la libertà asintotica.

Contesto storico

Gell-Mann e Zweig (1964) proposero i quark; Greenberg e Han–Nambu introdussero il colore per salvare il principio di Pauli nella $Δ^{+ +}$ . Gli esperimenti di diffusione profondamente inelastica a SLAC (1968–69) mostrarono costituenti puntiformi nel protone. Nel 1973 Gross, Wilczek e Politzer scoprirono la libertà asintotica (Nobel 2004). Wilson (1974) formulò la QCD su reticolo; Weinberg (1979, 1990) fondò l'approccio delle teorie effettive; nel 1983 la collaborazione EMC osservò che i nucleoni nei nuclei non sono semplici copie dei nucleoni liberi.

Il problema

Come si passa da una teoria con otto gluoni e sei sapori di quark, la cui costante di accoppiamento diventa grande alle scale nucleari, alla descrizione dei nuclei con potenziali nucleone–nucleone? Perché i pioni sono così leggeri e perché la forza nucleare ha il raggio che ha?

La QCD

La densità di lagrangiana della QCD, con gruppo di gauge $S U (3)$ di colore, è

L_{Q C D} = \sum_{f} {\overset{ˉ}{q}}_{f} (i D ⁣ ⁣ ⁣ / - m_{f}) q_{f} - \frac{1}{4} G_{μ ν}^{a} G^{a μ ν}, D_{μ} = \partial_{μ} - i g_{s} T^{a} A_{μ}^{a},

con $G_{μ ν}^{a} = \partial_{μ} A_{ν}^{a} - \partial_{ν} A_{μ}^{a} + g_{s} f^{a b c} A_{μ}^{b} A_{ν}^{c}$ . Il termine non abeliano $f^{a b c}$ genera autointerazioni dei gluoni, origine sia del confinamento sia della libertà asintotica. I fattori di colore sono $C_{F} = 4 / 3$ (quark), $C_{A} = 3$ (gluone) e $T_{F} = 1 / 2$ . Il numero di sapori attivi è $n_{f}$ ; le masse correnti dei quark leggeri sono piccole ( $m_{u} \approx 2$ MeV, $m_{d} \approx 5$ MeV, valori in schema $\overline{M S}$ a $2$ GeV, PDG), mentre la massa del protone, $938$ MeV, deriva in gran parte dall'energia dei campi gluonici e dal moto dei quark (circa l' $1 %$ è dovuto alle masse correnti).

Libertà asintotica e costante di accoppiamento che «corre»

L'accoppiamento $α_{s} = g_{s}^{2} / 4 π$ dipende dalla scala di energia $μ$ secondo l'equazione del gruppo di rinormalizzazione. Al primo ordine

μ \frac{d α_{s}}{d μ} = - \frac{β_{0}}{2 π} α_{s}^{2}, β_{0} = 11 - \frac{2}{3} n_{f} .

La soluzione è

α_{s} (μ) = \frac{α_{s} (μ_{0})}{1 + \frac{β_{0}}{2 π} α_{s} (μ_{0}) \ln (μ / μ_{0})} = \frac{2 π}{β_{0} \ln (μ / Λ_{Q C D})} .

Il segno di $β_{0}$ è positivo per $n_{f} \leq 16$ : nella QED l'analogo ha segno opposto (lo schermo delle coppie $e^{+} e^{-}$ fa crescere $α$ a piccole distanze), mentre in QCD l'antischermatura dei gluoni ( $11$ da $C_{A}$ ) vince sullo schermo dei quark ( $- 2 n_{f} / 3$ ). Il valore sperimentale è $α_{s} (M_{Z}) \approx 0,118$ ; con $n_{f} = 5$ , $β_{0} = 23 / 3$ e la soluzione a un anello, $α_{s} (10 G e V) \approx 0,173$ e $α_{s} (1 T e V) \approx 0,088$ (all'ordine dominante; i valori a due anelli sono $\approx 0,178$ e $\approx 0,087$ , cioè differiscono di pochi percento). Il parametro $Λ_{Q C D} \sim 200$ MeV segna la scala in cui l'accoppiamento perturbativo diverge e il confinamento diventa dominante; il suo valore dipende dall'ordine e dallo schema.

Confinamento

A grandi distanze l'energia potenziale di un quark e un antiquark cresce linearmente, $V (r) ≃ - \frac{4}{3} α_{s} / r + σ r$ , con tensione della stringa $σ \approx 0,18$ – $0,19$ GeV $^{2} \approx 1$ GeV/fm. Quando si allontana una coppia, l'energia accumulata supera quella necessaria per creare una nuova coppia $q \overset{ˉ}{q}$ dal vuoto: la stringa si rompe e si formano adroni (stesso meccanismo della frammentazione, argomento 15). Non è stata data dimostrazione analitica del confinamento; i calcoli su reticolo lo confermano numericamente.

Simmetria chirale e pioni

Nel limite $m_{u} = m_{d} = 0$ la lagrangiana ha simmetria $S U (2)_{L} \times S U (2)_{R}$ , che il vuoto rompe spontaneamente a $S U (2)_{V}$ attraverso il condensato $⟨ \overset{ˉ}{q} q ⟩ \neq 0$ . Per il teorema di Goldstone compaiono tre bosoni a massa nulla: i pioni. Le masse non nulle dei quark rompono esplicitamente la simmetria e danno ai pioni una massa piccola (pseudo-bosoni di Goldstone), secondo la relazione di Gell-Mann–Oakes–Renner

m_{π}^{2} f_{π}^{2} = - (m_{u} + m_{d}) ⟨ \overset{ˉ}{q} q ⟩, f_{π} \approx 92 M e V .

Con $m_{π} \approx 138$ MeV e $m_{u} + m_{d} \approx 6,9$ MeV si ottiene $- ⟨ \overset{ˉ}{q} q ⟩ \approx (286 M e V)^{3}$ (dipende da scala e schema). Il pione è il mediatore più leggero e ha raggio di Compton $ℏ / m_{π} c = 197,3 / 139,6 = 1,41$ fm, che fissa la portata della parte a lungo raggio della forza nucleare (argomento 5).

La forza nucleare come residuo della forza di colore

Poiché i nucleoni sono incolori, non c'è forza di colore a distanza; resta un'interazione residua dovuta allo scambio di sistemi di quark e gluoni incolori, in primo luogo i pioni. Si distinguono tre regioni:

Lungo raggio ( $r ≳ 2$ fm): scambio di un pione, potenziale di tipo Yukawa $V \propto e^{- m_{π} r} / r$ .
Medio raggio ( $1$ – $2$ fm): scambio di due pioni, attrazione intermedia.
Corto raggio ( $r ≲ 1$ fm): repulsione di core, in cui entrano i gradi di libertà di quark e il principio di Pauli per i quark.

Teoria effettiva chirale e QCD su reticolo

La teoria effettiva chirale (Weinberg, 1990) usa come gradi di libertà nucleoni e pioni, rispetta la simmetria chirale e organizza i contributi in potenze di $Q / Λ_{χ}$ , dove $Q \sim m_{π}$ è l'impulso tipico e $Λ_{χ} \approx 4 π f_{π} \approx 1$ GeV. All'ordine dominante compaiono lo scambio di un pione e interazioni di contatto; agli ordini superiori scambi di due e tre pioni; le forze a tre corpi emergono naturalmente. I coefficienti non fissati (low-energy constants) si adattano ai dati di scattering e a nuclei leggeri.

La QCD su reticolo risolve invece la teoria originale su un reticolo spazio-temporale discreto tramite integrale funzionale e metodi Monte Carlo (argomento 16). I calcoli di nuclei leggeri sono eseguiti a masse del pione maggiori di quella fisica (per esempio $m_{π} \approx 800$ MeV nei primi lavori della collaborazione NPLQCD), e il progresso in direzione della massa fisica è continuo: servono volumi grandi, passo reticolare piccolo e la correzione ai rapporti di correlazione tra stati con molti nucleoni.

Plasma di quark e gluoni e effetto EMC

Ad alta temperatura o densità la materia adronica subisce una transizione a un plasma di quark e gluoni deconfinati. Il calcolo su reticolo indica per $μ_{B} \approx 0$ una transizione continua (crossover) a $T_{c} \approx 155$ MeV ( $\sim 1,8 \times 10^{12}$ K). Il plasma si ottiene negli urti di ioni pesanti a RHIC e al LHC e si comporta come un fluido quasi ideale con bassa viscosità, con «jet quenching» come segnale di perdita di energia dei partoni.

L'effetto EMC è la riduzione, per $0,3 ≲ x ≲ 0,7$ , del rapporto $F_{2}^{A} / F_{2}^{D}$ della funzione di struttura per nucleone in un nucleo $A$ rispetto al deuterio: i quark di valenza nel nucleo hanno distribuzioni diverse da quelle nel nucleone libero (la riduzione raggiunge $\sim 10$ – $15 %$ per nuclei pesanti). Resta un tema aperto, e le correlazioni a corto raggio tra nucleoni sembrano giocare un ruolo.

Ricorda La libertà asintotica rende la QCD calcolabile ad alta energia (perturbazione in $α_{s}$ , da cui fattorizzazione e frammentazione, argomento 15). A bassa energia occorrono metodi non perturbativi: reticolo, teorie effettive, modelli.

Attenzione Non c'è una «massa dei quark» univoca: le masse correnti (schema $\overline{M S}$ a una scala) sono molto diverse dalle masse costituenti ( $\sim 300$ MeV) dei modelli a quark. $Λ_{Q C D}$ non è un parametro universale: dipende da $n_{f}$ , dall'ordine e dallo schema.

Errori comuni

Pensare che il protone abbia $938$ MeV perché i suoi quark pesano così: le masse correnti contano per $\approx 1 %$ .
Credere che l'attrazione nucleare sia fondamentale: è una forza residua, come van der Waals.
Interpretare la crescita di $α_{s}$ a basse energie come una divergenza fisica: segnala il fallimento della teoria delle perturbazioni.

Esempio numerico

Evoluzione a un anello con $n_{f} = 5$ da $M_{Z} = 91,19$ GeV a $10$ GeV: $β_{0} / 2 π = (23 / 3) / 6,283 = 1,220$ ; il denominatore è $1 + 1,220 \cdot 0,118 \cdot \ln (10 / 91,19) = 1 + 0,144 \cdot (- 2,210) = 0,682$ , quindi $α_{s} (10 G e V) = 0,118 / 0,682 = 0,173$ . Il valore a un anello di $Λ$ ricavato dalla forma $2 π / (β_{0} \ln (μ / Λ))$ è $\approx 88$ MeV (valore dipendente dal metodo; il valore a più anelli in $\overline{M S}$ è $\sim 200$ MeV).

Applicazioni

Descrizione delle interazioni nucleari per calcoli ab initio di nuclei leggeri e di materia di neutroni (stelle di neutroni), analisi di collisioni tra ioni pesanti, previsioni per esperimenti di diffusione profonda, equazione di stato della materia densa.

Collegamenti

La forza nucleare fenomenologica è nell'argomento 5; la libertà asintotica sostiene la fattorizzazione e quindi le funzioni di frammentazione (15); i metodi Monte Carlo del reticolo sono discussi in 16; l'energia di legame è in 2.

Domande di verifica

Calcola $β_{0}$ per $n_{f} = 3$ e $n_{f} = 6$ .
Risposta
$β_{0} = 11 - 2 n_{f} / 3$ : $9$ per $n_{f} = 3$ e $7$ per $n_{f} = 6$ .
Quanto vale la portata del potenziale di un pione carico?
Risposta
$ℏ c / m_{π} c^{2} = 197,3 / 139,6 = 1,41$ fm.
Perché i pioni sono molto più leggeri del protone?
Risposta
Sono pseudo-bosoni di Goldstone della rottura spontanea della simmetria chirale: la loro massa nasce solo dalla piccola massa dei quark ( $m_{π}^{2} \propto m_{q}$ ).
Cosa succede se si tenta di separare un quark da un antiquark in un mesone?
Risposta
L'energia della stringa cresce linearmente (circa 1 GeV/fm) fino a creare una nuova coppia $q \overset{ˉ}{q}$ : si ottengono due mesoni, non quark liberi.

Riassunto

QCD: $S U (3)$ di colore, $β_{0} = 11 - 2 n_{f} / 3$ , $α_{s} (μ) = 2 π / [β_{0} \ln (μ / Λ)]$ a un anello.
Confinamento, $σ \approx 1$ GeV/fm; libertà asintotica ad alta energia.
Pioni come pseudo-bosoni di Goldstone, $m_{π}^{2} f_{π}^{2} = - (m_{u} + m_{d}) ⟨ \overset{ˉ}{q} q ⟩$ .
La forza nucleare è residua; la teoria effettiva chirale e il reticolo la collegano alla QCD.

Nel laboratorio:

Frammentazione dei quark pesanti

Intuizione

Un quark o un gluone prodotto in un urto ad alta energia non arriva mai al rivelatore: a causa del confinamento si trasforma in un getto di adroni. La frazione di impulso del partone originario che finisce in un particolare adrone, per esempio un mesone $B$ , è descritta da una funzione di frammentazione. Per un quark pesante $Q$ (charm, bottom) c'è una semplificazione: il quark conserva gran parte dell'impulso, perché per «vestirsi» con un quark leggero cede poco, e quindi la distribuzione in $z$ ha un picco ad alti valori.

Contesto storico

Field e Feynman (1978) propose il modello di frammentazione indipendente. Il modello a stringa di Lund (Andersson, Gustafson, Ingelman, Sjöstrand, 1983) descrive la rottura del campo di colore. Peterson, Schlatter, Schmitt e Zerwas (1983) ottennero una forma per i quark pesanti dalla cinematica del decadimento di uno stato eccitato; Kartvelishvili e collaboratori (1978) proposero la parametrizzazione a potenza. Mele e Nason (1991) mostrarono che la funzione di frammentazione iniziale di un quark pesante è calcolabile in teoria delle perturbazioni e che l'evoluzione risomma i logaritmi della massa. Cacciari e Catani (2001) trattarono la risommazione dei gluoni soffici a grandi $z$ .

Il problema

Come si separano la parte perturbativa (calcolabile) e la parte non perturbativa (da misurare) nella sezione d'urto di produzione di un adrone pesante? Come si evolvono le distribuzioni con la scala e come si determinano da dati?

Fattorizzazione collineare e definizione

A grandi scale $Q$ la sezione d'urto per produrre un adrone $H$ con frazione di impulso $x = 2 E_{H} / \sqrt{s}$ in $e^{+} e^{-}$ si fattorizza come

\frac{1}{σ_{0}} \frac{d σ^{H}}{d x} (x, Q) = \sum_{i} \int_{x}^{1} \frac{d z}{z} C_{i} (z, α_{s} (μ), \frac{Q}{μ}) D_{i}^{H} (\frac{x}{z}, μ),

dove $C_{i}$ sono coefficienti di Wilson (sezioni d'urto partoniche, calcolabili) e $D_{i}^{H} (z, μ)$ è la funzione di frammentazione: la densità di probabilità che il partone $i$ produca l'adrone $H$ con frazione $z = p_{H} / p_{i}$ (nella direzione collineare), definita dalla scala di fattorizzazione $μ$ (e dallo schema, di solito $\overline{M S}$ ). La struttura è analoga a quella delle PDF nel caso spaziale, ma è «temporale»: il partone entra con virtualità alta ed esce in adroni.

Normalizzazione e regola della somma dell'impulso

La conservazione dell'impulso del partone implica, sommando su tutti gli adroni,

\sum_{H} \int_{0}^{1} d z z D_{i}^{H} (z, μ) = 1 per ogni i, μ .

Il numero medio di adroni $H$ è invece $\int_{0}^{1} D_{i}^{H} d z$ (primo momento di Mellin) e non è fissato: diverge in teoria perturbativa per $z \to 0$ (radiazione soffice). Per un quark pesante al valore di scala iniziale e in assenza di radiazione, $D_{Q}^{Q} (z, μ_{0}) = δ (1 - z)$ : nessuna perdita di impulso.

Evoluzione DGLAP timelike

La dipendenza da $μ$ obbedisce all'equazione di Dokshitzer–Gribov–Lipatov–Altarelli–Parisi, in versione temporale:

μ^{2} \frac{\partial}{\partial μ^{2}} D_{i}^{H} (x, μ^{2}) = \sum_{j} \int_{x}^{1} \frac{d z}{z} P_{j i} (z, α_{s} (μ^{2})) D_{j}^{H} (\frac{x}{z}, μ^{2}), P_{j i} = \frac{α_{s}}{2 π} P_{j i}^{(0)} + (\frac{α_{s}}{2 π})^{2} P_{j i}^{(1)} + \dots

$P_{j i} (z)$ è la probabilità che il partone $i$ emetta il partone $j$ con frazione $z$ . Al primo ordine le funzioni di splitting hanno la stessa forma del caso spaziale; per il canale quark–quark

P_{q q}^{(0)} (z) = C_{F} [\frac{1 + z^{2}}{1 - z}]_{+}, C_{F} = \frac{4}{3},

dove la prescrizione « $+$ » regolarizza la singolarità in $z = 1$ e fa sì che il numero di quark si conservi. (Gli altri canali, $P_{g q}$ , $P_{q g}$ , $P_{g g}$ , sono riportati nei testi standard; le differenze tra spaziale e temporale compaiono da $O (α_{s}^{2})$ e non vengono riprodotte qui.) Il prodotto di convoluzione si diagonalizza con i momenti di Mellin, $f_{N} = \int_{0}^{1} d z z^{N - 1} f (z)$ : poiché $(f \otimes g)_{N} = f_{N} g_{N}$ , l'equazione si riduce, a ogni $N$ , a un sistema di equazioni differenziali ordinarie

μ^{2} \frac{d}{d μ^{2}} D_{i, N}^{H} = \sum_{j} γ_{j i, N} (α_{s}) D_{j, N}^{H}, γ_{q q, N}^{(0)} = C_{F} [\frac{3}{2} + \frac{1}{N (N + 1)} - 2 \sum_{k = 1}^{N} \frac{1}{k}] .

Per $N = 1$ risulta $γ_{q q, 1}^{(0)} = 0$ (conservazione del numero di quark nel canale $q q$ ). La regola della somma dell'impulso corrisponde a $N = 2$ e a $\sum_{j} γ_{j i, 2} = 0$ .

L'approccio di Mele–Nason per i quark pesanti

Una massa $m_{Q}$ introduce una scala fisica in più. Per $μ ≫ m_{Q}$ compaiono potenze di $α_{s} \ln (μ / m_{Q})$ che vanno risommate. Mele e Nason osservarono che per $μ = μ_{0} \sim m_{Q}$ la funzione di frammentazione iniziale di un quark pesante in sé stesso è calcolabile perturbativamente: al primo ordine, per $z < 1$ ,

D_{Q}^{i n i} (z, μ_{0}) = δ (1 - z) + \frac{α_{s} (μ_{0}) C_{F}}{2 π} [\frac{1 + z^{2}}{1 - z} (\ln \frac{μ_{0}^{2}}{m_{Q}^{2}} - 2 \ln (1 - z) - 1)]_{+},

(forma standard, Mele e Nason, Nucl. Phys. B361 (1991) 626; vedi anche Cacciari, Nason e Oleari, 2006). La funzione ha un picco vicino a $z = 1$ con larghezza $\sim α_{s}$ . L'evoluzione DGLAP da $μ_{0}$ a $μ \sim Q$ risomma i logaritmi $α_{s}^{n} \ln^{n} (μ / m_{Q})$ (LL) e i sottodominanti (NLL), e la convoluzione con i coefficienti di Wilson dà la sezione d'urto per il quark pesante. Ai grandi $z$ restano i logaritmi $[\ln (1 - z) / (1 - z)]_{+}$ che la risommazione di gluoni soffici (Cacciari–Catani) porta a esponenziazione nello spazio dei momenti, in termini di $\ln N$ .

Adronizzazione e parametrizzazioni fenomenologiche

La transizione da quark a adrone ( $Q \to H_{Q}$ ) non è calcolabile perturbativamente e si parametrizza con una forma funzionale sul valore iniziale (o si convoluta con la parte perturbativa).

Peterson: $D (z) \propto \frac{1}{z [1 - \frac{1}{z} - \frac{ε}{1 - z}]^{2}}$ , con $ε \sim (m_{q} / m_{Q})^{2}$ (con $ε_{b} ≪ ε_{c}$ ; i valori dipendono molto dal trattamento perturbativo). Un solo parametro. La forma deriva dal denominatore dell'energia nella transizione $Q \to H + q$ .
Kartvelishvili: $D (z) \propto z^{α} (1 - z)$ , con $α$ che cresce con la massa del quark; si adatta bene ai momenti e facilita calcoli analitici.
Lund simmetrica: $f (z) \propto \frac{1}{z} (1 - z)^{a} \exp ⁣ (- b m_{⊥}^{2} / z)$ per quark leggeri, con $m_{⊥}^{2} = m^{2} + p_{⊥}^{2}$ ; per i quark pesanti si usa la modifica di Bowler, in cui l'esponente di $1 / z$ diventa $1 + r_{Q} b m_{Q}^{2}$ , con $r_{Q} \approx 1$ in PYTHIA.

Fit globali e universalità

I parametri non perturbativi si determinano da dati di annichilazione $e^{+} e^{-}$ al picco $Z$ (LEP e SLD: frazioni di adroni $b$ e $c$ nei dati ALEPH, DELPHI, OPAL, SLD) e a energie più basse ai B-factories ( $\sqrt{s} \approx 10,6$ GeV, Belle e BaBar). Fit globali (Kniehl, Kramer e collaboratori per $D$ e $B$ ; per adroni leggeri KKP, AKK, DSS) ottengono funzioni $D_{i}^{H} (z, μ_{0})$ per vari partoni. Poiché le $D$ dipendono solo da $i$ , $H$ , $z$ e $μ$ , ma non dal processo, ci si aspetta universalità: le funzioni estratte da $e^{+} e^{-}$ devono predire la produzione in $e p$ e $p p$ . Test recenti con dati di HERA e LHC mostrano alcune tensioni nelle frazioni di frammentazione del charm tra $e^{+} e^{-}$ e $e p / p p$ (in particolare per i barioni $Λ_{c}$ ), tema di ricerca attuale.

Momenti di Mellin e sezioni d'urto

Nello spazio dei momenti la fattorizzazione diventa un prodotto: $σ_{N}^{H} = \sum_{i} C_{i, N} (α_{s}, Q / μ) D_{i, N}^{H} (μ)$ . Con una sola specie di partone dominante (quark pesante) si ha $σ_{N}^{H} ≃ C_{N} D_{N}$ , e il valore medio della frazione di impulso osservato è il rapporto di momenti $⟨ x ⟩ = σ_{2}^{H} / σ_{1}^{H}$ . I momenti bassi sono meno sensibili alle code a grandi $z$ e quindi più robusti rispetto alla scelta della parametrizzazione; essi permettono di confrontare in modo diretto i dati ( $⟨ x_{B} ⟩ \approx 0,71$ a LEP: media LEP/SLD $0,7092 \pm 0,0025$ ) con la teoria evoluta, e di verificare che l'evoluzione conservi la regola della somma. Nel progetto di tesi sulle funzioni di frammentazione di quark pesanti, la scelta tra Peterson e Kartvelishvili si valuta sui momenti $N = 2, 3, \dots$ dopo l'evoluzione.

Ricorda Il momento $N = 2$ delle $D_{i}^{H}$ sommato su tutti gli adroni vale $1$ (conservazione dell'impulso) per ogni scala; i singoli momenti no. La dipendenza da $μ$ è calcolabile; la dipendenza dalla forma a $μ_{0}$ no.

Attenzione Il parametro $ε$ di Peterson non ha lo stesso valore se la parte perturbativa è calcolata a LO o a NLL: va sempre accompagnato dal trattamento perturbativo con cui è stato estratto. $z$ può denotare $p_{H} / p_{Q}$ , $E_{H} / E_{Q}$ o la frazione lungo la direzione del getto: conviene dichiararlo.

Errori comuni

Considerare $D_{i}^{H}$ come probabilità normalizzata a 1: la normalizzazione è sul momento $N = 2$ , sommando sugli adroni.
Confondere le funzioni di frammentazione, che evolvono con $P_{j i}$ trasposte, con le PDF.
Applicare una funzione di frammentazione di Peterson dopo l'evoluzione come se fosse la condizione iniziale.

Esempio numerico

Per Kartvelishvili, $D \propto z^{α} (1 - z)$ e i momenti sono $D_{N} = \int_{0}^{1} z^{N - 1 + α} (1 - z) d z = \frac{1}{(α + N) (α + N + 1)}$ , quindi $⟨ z ⟩ = D_{2} / D_{1} = \frac{α + 1}{α + 3}$ . Per riprodurre $⟨ z ⟩ = 0,83$ serve $α = (3 ⟨ z ⟩ - 1) / (1 - ⟨ z ⟩) \approx 8,6$ . Calcolando numericamente la media di Peterson: $⟨ z ⟩ = 0,686$ per $ε = 0,05$ e $0,828$ per $ε = 0,006$ ; la parametrizzazione di Kartvelishvili equivalente ha $α \approx 3,4$ e $α \approx 8,6$ .

Applicazioni

Predizioni di produzione di mesoni $B$ e $D$ a LHC e a futuri collisori, $b$ -tagging, misura di $∣ V_{c b} ∣$ e $∣ V_{u b} ∣$ con decadimenti semileptonici, neutrini atmosferici da charm, simulazioni Monte Carlo (Pythia, Herwig) che usano modelli a stringa o ad ammassi.

Collegamenti

La libertà asintotica che giustifica la fattorizzazione è discussa nell'argomento 14; il confinamento e la rottura della stringa sono la fisica dell'adronizzazione. Le tecniche di fit e di campionamento sono nell'argomento 16; l'esercizio 9 dell'argomento 17 calcola i momenti per la forma di Kartvelishvili.

Domande di verifica

Quanto vale $γ_{q q, 2}^{(0)}$ ?
Risposta
$C_{F} [\frac{3}{2} + \frac{1}{6} - 2 (1 + \frac{1}{2})] = \frac{4}{3} (- \frac{4}{3}) = - \frac{16}{9}$ : parte della frazione di impulso è ceduta ai gluoni.
Che cosa si conserva con $N = 1$ nel canale $q q$ ?
Risposta
Il numero di quark: $γ_{q q, 1}^{(0)} = 0$ .
Cosa succede alla funzione di Peterson per $ε \to 0$ ?
Risposta
Si concentra in $z = 1$ ( $δ (1 - z)$ ): il quark pesante cede impulso nullo.
Perché le funzioni di frammentazione sono più universali delle sezioni d'urto?
Risposta
Dipendono solo dalla fisica a lunga distanza dell'adronizzazione, non dal processo duro, che entra nei coefficienti $C_{i}$ .

Riassunto

$d σ^{H} = \sum_{i} C_{i} \otimes D_{i}^{H}$ ; $\sum_{H} \int z D_{i}^{H} = 1$ .
DGLAP timelike diagonale nei momenti di Mellin; $P_{q q}^{(0)} = C_{F} [(1 + z^{2}) / (1 - z)]_{+}$ .
Mele–Nason: condizione iniziale perturbativa a $μ_{0} \sim m_{Q}$ e risommazione di $\ln (μ / m_{Q})$ .
Peterson, Kartvelishvili ( $⟨ z ⟩ = (α + 1) / (α + 3)$ ) e Lund per la parte non perturbativa; fit a LEP e B-factories.

Nel laboratorio:

Tecniche sperimentali e di calcolo

Intuizione

La fisica nucleare è una scienza di conteggi. Si preparano nuclei o fasci, si osservano eventi rari, si misurano energia, tempo e posizione dei prodotti, e si estraggono grandezze fisiche da istogrammi affetti da fluttuazioni statistiche e da risposta imperfetta degli strumenti. Accanto all'esperimento, le simulazioni Monte Carlo ricostruiscono il percorso di ogni particella nella materia e permettono di confrontare teoria e dati.

Contesto storico

Geiger e Müller (1928) costruirono il contatore a gas; Cockcroft e Walton (1932) realizzarono il primo acceleratore a tensione. Lawrence inventò il ciclotrone (1930–32). Wilson e poi Glaser svilupparono le camere a tracce; Charpak introdusse la camera proporzionale a fili (1968, Nobel 1992). Ulam, von Neumann e Metropolis svilupparono il metodo Monte Carlo a Los Alamos (1946–49), mentre Geant4 nasce al CERN negli anni Novanta come erede di GEANT3.

Il problema

Come si portano le particelle all'energia voluta, come si misurano energia, velocità e posizione, come si trattano gli errori di conteggio, e come si simulano processi troppo complessi per un calcolo analitico?

Acceleratori (cenni)

Elettrostatici (Cockcroft–Walton, Van de Graaff, tandem): tensioni fino a $\sim 25$ MV, energie del fascio molto stabili e ben definite, ideali per la fisica nucleare a bassa energia.
Ciclotrone: in un campo $B$ uniforme una particella di carica $q$ e massa $m$ percorre orbite con frequenza $f = q B / (2 π m)$ indipendente dalla velocità (non relativistica); con un campo elettrico alternato alla stessa frequenza guadagna energia a ogni passaggio.
Linac e sincrotrone: nel sincrotrone il campo magnetico e la frequenza variano con l'energia; i collisori (LHC: fasci di protoni a $6,8$ TeV dal 2022) forniscono energia nel centro di massa $\sqrt{s} \approx 2 E_{f a s c i o}$ .

Spettrometria gamma e alfa

Nella spettrometria $γ$ con germanio iperpuro (HPGe) l'energia depositata è proporzionale al numero di coppie elettrone–lacuna (circa $3$ eV per coppia). Lo spettro mostra il fotopicco (assorbimento totale), il continuo Compton con il suo bordo, il picco di retrodiffusione e, sopra $1,022$ MeV, i picchi di fuga singola e doppia ( $E - 0,511$ e $E - 1,022$ MeV). L'area netta del fotopicco $N$ si converte in attività con $A = N / (t ε I_{γ})$ , con $ε$ l'efficienza di fotopicco e $I_{γ}$ l'intensità di emissione. La risoluzione è espressa come FWHM $= 2,355 σ$ per un picco gaussiano.

La spettrometria $α$ si esegue con rivelatori al silicio a barriera di superficie o impiantati, in vuoto per evitare perdite nell'aria, con sorgenti sottilissime; la risoluzione tipica è $\sim 15$ – $20$ keV FWHM, sufficiente per separare le righe di isotopi vicini (per esempio $^{239}$ Pu e $^{240}$ Pu, con righe principali a $5,157$ e $5,168$ MeV, differenti di $\sim 11$ keV, sono praticamente non risolti e si riportano come $^{239 + 240}$ Pu).

Tempo di volo, camere a deriva, calorimetri

Tempo di volo: su un cammino $L$ la velocità è $v = L / t$ ; per neutroni non relativistici $E = \frac{1}{2} m_{n} (L / t)^{2}$ . Per neutroni da 14 MeV, $β = \sqrt{2 \cdot 14 / 939,6} = 0,173$ , quindi $v = 5,2 \times 10^{7}$ m/s e su $L = 1$ m il tempo è $19,3$ ns. La risoluzione sul tempo $σ_{t}$ si propaga: $σ_{E} / E = 2 σ_{t} / t$ (a $L$ fisso).
Camera a deriva: gli elettroni di ionizzazione migrano verso un filo con velocità di deriva $v_{d}$ (tipicamente $\sim 5$ cm/ $μ$ s), e la posizione si ricava da $x = v_{d} (t - t_{0})$ con risoluzione di $100$ – $200 μ$ m.
Calorimetri: assorbono l'intera energia; la risoluzione è $\frac{σ_{E}}{E} = \frac{a}{\sqrt{E}} \oplus b \oplus \frac{c}{E}$ (termine stocastico, costante e di rumore; $\oplus$ somma in quadratura). Valori tipici: $\sim 10 % / \sqrt{E}$ per calorimetri elettromagnetici a campionamento e $\sim 50 % / \sqrt{E}$ per quelli adronici ( $E$ in GeV, valori indicativi).

Statistica di Poisson dei conteggi

Per un processo casuale e indipendente la probabilità di contare $n$ eventi in un intervallo con media $μ$ è

P (n; μ) = \frac{μ^{n} e^{- μ}}{n!}, ⟨ n ⟩ = μ, V a r (n) = μ .

Con $N$ conteggi osservati si stima $μ ≃ N$ con incertezza $\sqrt{N}$ (errore relativo $1 / \sqrt{N}$ : per un errore dell'1% servono $10^{4}$ conteggi). La rata $R = N / t$ ha errore $\sqrt{N} / t$ . Se si sottrae un fondo, $R_{n e t} = N_{g} / t_{g} - N_{b} / t_{b}$ con $σ^{2} = N_{g} / t_{g}^{2} + N_{b} / t_{b}^{2}$ . Per rate elevate bisogna correggere il tempo morto $τ$ : per un rivelatore non paralizzabile, $n = m / (1 - m τ)$ , con $m$ la rata misurata. Per $μ ≳ 20$ la distribuzione è ben approssimata da una gaussiana di media $μ$ e $σ = \sqrt{μ}$ .

Test del chi quadro

Per confrontare i conteggi osservati $O_{i}$ in $k$ canali con un modello, che prevede $E_{i}$ con $σ_{i}^{2} \approx E_{i}$ ,

χ^{2} = \sum_{i = 1}^{k} \frac{(O_{i} - E_{i})^{2}}{σ_{i}^{2}}, ν = k - p,

con $p$ il numero di parametri stimati dai dati. In media $⟨ χ^{2} ⟩ = ν$ e $V a r (χ^{2}) = 2 ν$ , quindi un buon adattamento ha $χ^{2} / ν = 1 \pm \sqrt{2 / ν}$ . Il p-value è la probabilità di ottenere un valore almeno così grande se il modello è corretto. Per esempio $χ^{2} = 12,4$ con $ν = 8$ dà $χ^{2} / ν = 1,55$ e $p = 0,13$ : non c'è evidenza di disaccordo. Per canali con pochi conteggi ( $< 5$ ) conviene la verosimiglianza di Poisson invece del $χ^{2}$ gaussiano.

Metodo Monte Carlo e Geant4

Il metodo Monte Carlo stima integrali e distribuzioni con campioni casuali: l'errore statistico scala come $1 / \sqrt{N}$ indipendentemente dalla dimensione dello spazio. Geant4 (C++) simula il trasporto di particelle nella materia: si definiscono geometria, materiali, sorgente e physics list (per esempio FTFP_BERT); a ogni passo la particella viene campionata secondo le sezioni d'urto dei processi (ionizzazione, bremsstrahlung, Compton, fotoelettrico, coppie, interazioni adroniche), e si registrano le energie depositate nei volumi sensibili (scoring). Le applicazioni vanno dai rivelatori alla dosimetria in adroterapia (argomento 13).

Numeri casuali. I generatori sono pseudo-casuali e deterministici. Il più semplice è il congruenziale lineare, $x_{n + 1} = (a x_{n} + c) m o d m$ , con $u_{n} = x_{n} / m \in [0, 1)$ ; i generatori moderni (Mersenne Twister, periodo $2^{19937} - 1$ ) hanno periodo molto lungo e buone proprietà statistiche. Servono test di uniformità e di correlazione prima dell'uso.

Campionamento per inversione. Se $F (x)$ è la funzione di distribuzione cumulativa, la variabile $x = F^{- 1} (u)$ con $u$ uniforme ha densità $f = F^{'}$ . Esempio: distribuzione esponenziale (tempi di decadimento) $f (t) = λ e^{- λ t}$ , $F (t) = 1 - e^{- λ t}$ , quindi $t = - \ln (1 - u) / λ$ , o equivalentemente $t = - \ln u / λ$ .

Campionamento per reiezione (von Neumann). Se $f (x) \leq M g (x)$ con $g$ densità semplice da campionare: si estrae $x \sim g$ e $u \sim U (0, 1)$ e si accetta $x$ se $u \leq f (x) / (M g (x))$ . L'efficienza è $1 / M$ . È il metodo usato quando $F^{- 1}$ non è disponibile, per esempio per la formula di Klein–Nishina degli angoli di Compton (argomento 13). La Box–Muller $z = \sqrt{- 2 \ln u_{1}} \cos (2 π u_{2})$ genera un numero gaussiano standard.

Deconvoluzione

Le misure sono la convoluzione del segnale vero con la risposta dello strumento: $y = R x + rumore$ , con $R$ la matrice di risposta. Invertire $R$ direttamente amplifica il rumore (problema mal posto): i piccoli valori singolari di $R$ diventano grandi coefficienti. Si ricorre allora a una regolarizzazione: Tikhonov (si penalizza la norma o la derivata seconda di $x$ ), la decomposizione in valori singolari troncata, o metodi iterativi come Richardson–Lucy, $x^{(k + 1)} = x^{(k)} \cdot R^{T} [y / (R x^{(k)})]$ , che preserva la positività e per dati di Poisson converge verso il massimo di verosimiglianza. In fisica delle particelle si usa anche l'unfolding bayesiano di D'Agostini. Il numero di iterazioni o il parametro di regolarizzazione controlla il compromesso tra bias e varianza.

Ricorda L'errore su un conteggio è $\sqrt{N}$ , non una frazione fissa: per dimezzare l'errore relativo servono quattro volte più dati. Lo stesso vale per un risultato Monte Carlo.

Attenzione Un $χ^{2} / ν$ molto minore di 1 è sospetto quanto uno molto maggiore (errori sovrastimati o dati correlati). Non si può usare $\sqrt{N}$ come errore quando $N = 0$ o molto piccolo. I generatori pseudo-casuali devono essere inizializzati con semi diversi nei calcoli in parallelo.

Errori comuni

Sottrarre il fondo senza sommare in quadratura i due errori.
Confondere FWHM e $σ$ : $F W H M = 2,355 σ$ .
Interpretare il risultato di una deconvoluzione non regolarizzata come se fosse la distribuzione vera.

Esempio numerico

Si misurano $400$ conteggi in $100$ s e un fondo di $100$ conteggi in $100$ s. Rata lorda $4,00 \pm 0,20 s^{- 1}$ , fondo $1,00 \pm 0,10$ , rata netta $3,00$ con $σ = \sqrt{400 + 100} / 100 = 0,224 s^{- 1}$ ( $7,5 %$ ).

Applicazioni

Spettrometria in radioprotezione e ambientale, caratterizzazione di sorgenti, analisi per attivazione neutronica, progettazione di schermature e rivelatori con Geant4, analisi di dati in fisica delle alte energie.

Collegamenti

Le sorgenti sono i decadimenti (6–9). L'interazione con la materia è nell'argomento 13. La statistica di Poisson è la stessa del decadimento radioattivo. La simulazione Monte Carlo è usata nella QCD su reticolo (14).

Domande di verifica

Quanti conteggi servono per una precisione statistica del 2%?
Risposta
$1 / \sqrt{N} = 0,02$ implica $N = 2500$ .
Come si campiona un tempo di decadimento con $λ = 0,1 s^{- 1}$ da $u = 0,5$ ?
Risposta
$t = - \ln (0,5) / 0,1 = 6,93$ s, cioè la vita mediana.
Una riga ha FWHM $= 2,0$ keV: quanto vale $σ$ ?
Risposta
$σ = 2,0 / 2,355 = 0,85$ keV.
Quale efficienza di reiezione ha un campionamento con $M = 4$ ?
Risposta
$1 / M = 25 %$ : in media quattro tentativi per ogni valore accettato.

Riassunto

Acceleratori: elettrostatici, ciclotrone ( $f = q B / 2 π m$ ), sincrotrone.
Rivelatori: HPGe, silicio, tempo di volo ( $E = \frac{1}{2} m (L / t)^{2}$ ), camere a deriva, calorimetri.
Poisson: $σ = \sqrt{N}$ ; $χ^{2} / ν = 1 \pm \sqrt{2 / ν}$ .
Monte Carlo: inversione, reiezione, Geant4; deconvoluzione richiede regolarizzazione.

Nel laboratorio:

Esercizi svolti

Intuizione

La fisica nucleare si impara risolvendo problemi: ogni esercizio qui sotto richiede di scegliere il modello giusto, controllare le unità e dare un senso al risultato. Sono ordinati per difficoltà crescente, dal calcolo diretto con una formula alla combinazione di più idee. Tutti i risultati numerici sono stati verificati con un calcolo al computer.

Contesto e costanti

Si usano $1 u = 931,494$ MeV $/ c^{2}$ , $α ℏ c = 1,44$ MeV fm, $ℏ c = 197,33$ MeV fm, $N_{A} = 6,022 \times 10^{23} m o l^{- 1}$ . I parametri della formula di massa sono quelli dell'argomento 2: $a_{V} = 15,75$ , $a_{S} = 17,8$ , $a_{C} = 0,711$ , $a_{A} = 23,7$ , $a_{P} = 11,18$ MeV.

Esercizio 1 (base): energia di legame con la formula di massa

Testo. Calcola l'energia di legame di $^{56}$ Fe ( $Z = 26$ , $A = 56$ ) e confrontala con il valore misurato $B = 492,26$ MeV (AME2020).

Soluzione. Servono $A^{1 / 3} = 3,826$ e $A^{2 / 3} = 14,64$ . Si valutano i cinque termini di $B = a_{V} A - a_{S} A^{2 / 3} - a_{C} Z (Z - 1) A^{- 1 / 3} - a_{A} (A - 2 Z)^{2} / A + δ$ :

Volume: $15,75 \cdot 56 = 882,0$ MeV.
Superficie: $- 17,8 \cdot 14,64 = - 260,5$ MeV.
Coulomb: $- 0,711 \cdot 26 \cdot 25 / 3,826 = - 120,8$ MeV.
Asimmetria: $A - 2 Z = 4$ , quindi $- 23,7 \cdot 16 / 56 = - 6,8$ MeV.
Appaiamento: nucleo pari–pari, $δ = + 11,18 / \sqrt{56} = + 1,5$ MeV.

Somma: $B = 495,4$ MeV, cioè $B / A = 8,85$ MeV. Lo scarto dal dato sperimentale è $3$ MeV, circa $0,6 %$ : eccellente per un modello a cinque parametri. Si noti che il termine di volume e quello di superficie quasi si annullano per l'80% e che la competizione tra Coulomb e asimmetria fissa la valle di stabilità.

Esercizio 2 (base): Q-valore di D+T

Testo. Calcola il $Q$ di $D + T \to^{4} H e + n$ con le masse atomiche $m (D) = 2,014102$ , $m (T) = 3,016049$ , $m (^{4} H e) = 4,002603$ , $m (n) = 1,008665$ u e ripartisci l'energia.

Soluzione. Gli elettroni si compensano (2 prima, 2 dopo; il neutrone non ne ha): si possono usare le masse atomiche. $Δ m = 5,030151 - 5,011268 = 0,018883$ u e $Q = 0,018883 \cdot 931,494 = 17,59$ MeV. Nel riferimento del centro di massa gli impulsi sono opposti e uguali; in regime non relativistico $T_{n} / T_{α} = m_{α} / m_{n}$ , quindi $T_{n} = Q \frac{m_{α}}{m_{α} + m_{n}} = 14,05$ MeV e $T_{α} = 3,54$ MeV (i valori relativistici usuali sono $14,07$ e $3,52$ MeV). Il $80 %$ dell'energia va al neutrone.

Esercizio 3 (base): attività e legge di decadimento

Testo. Un campione di $^{99 m}$ Tc ( $T_{1 / 2} = 6,007$ h) ha attività $500$ MBq. Calcola $λ$ , il numero di nuclei, la massa, l'attività dopo $12$ h e dopo $24$ h e il tempo per scendere a $1 / 1000$ .

Soluzione. $λ = \ln 2 / T_{1 / 2} = 0,6931 / 21 624 s = 3,205 \times 10^{- 5} s^{- 1}$ . Da $A = λ N$ risulta $N_{0} = 5 \times 10^{8} / 3,205 \times 10^{- 5} = 1,56 \times 10^{13}$ nuclei, cioè $m = N_{0} \cdot 99 / N_{A} = 2,6$ ng (quantità piccolissima). L'attività segue $A (t) = A_{0} e^{- λ t} = A_{0} 2^{- t / T_{1 / 2}}$ : a $12$ h (due emivite circa) $A = 500 \cdot 2^{- 1,998} = 125,2$ MBq; a $24$ h $A = 31,3$ MBq. Per $A / A_{0} = 10^{- 3}$ : $t = T_{1 / 2} \ln 1000 / \ln 2 = 59,9$ h $\approx 10$ emivite (perché $2^{10} = 1024 \approx 10^{3}$ ).

Esercizio 4 (intermedio): catena madre–figlia

Testo. $^{99}$ Mo ( $T_{1} = 65,94$ h) decade in $^{99 m}$ Tc ( $T_{2} = 6,007$ h). Trascurando il rapporto di ramificazione (circa $88 %$ verso $^{99 m}$ Tc), determina il tipo di equilibrio, il rapporto asintotico $A_{2} / A_{1}$ e il tempo in cui l'attività della figlia è massima.

Soluzione. Con $N_{2} (0) = 0$ , le equazioni di Bateman danno $A_{2} (t) = A_{1} (0) \frac{λ_{2}}{λ_{2} - λ_{1}} (e^{- λ_{1} t} - e^{- λ_{2} t})$ . Poiché $λ_{2} > λ_{1}$ ( $λ_{1} = 0,01051 h^{- 1}$ , $λ_{2} = 0,11540 h^{- 1}$ ), per $t ≫ 1 / λ_{2}$ il secondo esponenziale è trascurabile e $A_{2} / A_{1} \to λ_{2} / (λ_{2} - λ_{1}) = 1,100$ : equilibrio transiente (non secolare, perché il padre non è costante). Il massimo di $A_{2}$ si trova da $d A_{2} / d t = 0$ , cioè $t_{\max} = \frac{\ln (λ_{2} / λ_{1})}{λ_{2} - λ_{1}} = \frac{\ln 10,98}{0,1049} = 22,8$ h, quando $A_{2} = A_{1}$ . Il generatore di $^{99 m}$ Tc viene «munto» ogni circa 24 h. A $6$ h il rapporto è $0,51$ , a $12$ h $0,79$ , a $24$ h $1,01$ .

Esercizio 5 (intermedio): picco di Gamow per D–T

Testo. Calcola $E_{G}$ , il picco $E_{0}$ e la larghezza $Δ$ per D–T a $k T = 10$ keV.

Soluzione. $μ c^{2} = \frac{2,014102 \cdot 3,016049}{5,030151} \cdot 931,494 = 1124,9$ MeV. $E_{G} = 2 μ c^{2} (π α Z_{1} Z_{2})^{2} = 2 \cdot 1124,9 \cdot (π / 137,036)^{2} = 2249,8 \cdot 5,256 \times 10^{- 4} = 1,182$ MeV $= 1182$ keV (circa $1,18$ MeV; la cifra «1175» che circola dipende da $μ$ e $α$ arrotondati). Quindi $b = \sqrt{E_{G}} = 34,4 k e V^{1 / 2}$ e $E_{0} = (b k T / 2)^{2 / 3} = (171,9)^{2 / 3} = 30,9$ keV, tre volte $k T$ . La larghezza è $Δ = \frac{4}{\sqrt{3}} \sqrt{E_{0} k T} = 2,309 \cdot \sqrt{309} = 40,6$ keV. L'esponente è $τ = 3 E_{0} / k T = 9,3$ , e la probabilità relativa di Gamow al picco è $e^{- \sqrt{E_{G} / E_{0}}} = e^{- 6,18} = 2 \times 10^{- 3}$ . (Metodo alternativo: $E_{0} = (E_{G} (k T)^{2} / 4)^{1 / 3} = (1182 \cdot 100 / 4)^{1 / 3} = 30,9$ keV.)

Esercizio 6 (intermedio): avvicinamento di una $α$ all'oro

Testo. Una $α$ da $5$ MeV colpisce frontalmente un nucleo di $^{197}$ Au. Calcola la distanza di massimo avvicinamento e confrontala con il raggio nucleare.

Soluzione. All'inversione del moto tutta l'energia cinetica è diventata energia potenziale: $T = Z_{1} Z_{2} α ℏ c / d$ , da cui $d = 2 \cdot 79 \cdot 1,44 / 5 = 45,5$ fm (trascurando il rinculo del bersaglio; includendolo, la distanza nel centro di massa è $d (1 + m_{α} / M_{A u}) = 46,4$ fm). Il raggio dell'oro è $R = 1,2 \cdot 197^{1 / 3} = 7,0$ fm, e il raggio della somma dei nuclei $8,9$ fm, quindi $d \approx 5 R_{s o m m a}$ : la particella non tocca mai il nucleo e la diffusione è puramente coulombiana (Rutherford). La barriera sarebbe $V_{B} = 2 \cdot 79 \cdot 1,44 / 8,9 = 25,6$ MeV, cinque volte l'energia disponibile.

Esercizio 7 (avanzato): reattività e periodo con un gruppo di ritardati

Testo. Un reattore ha $β = 0,0065$ , un gruppo equivalente con $λ = 0,08 s^{- 1}$ e $Λ = 10^{- 4}$ s. Si inserisce una reattività $ρ = 0,001$ . Calcola $ρ$ in dollari, il salto pronto e il periodo; ripeti per $ρ = 0,0035$ e $ρ = 0,0078$ .

Soluzione. Per $n \propto e^{ω t}$ le equazioni puntuali (argomento 11) danno $ρ = Λ ω + β ω / (ω + λ)$ , cioè l'equazione di secondo grado $Λ ω^{2} + (Λ λ + β - ρ) ω - ρ λ = 0$ . Per $ρ = 0,001$ : $ρ / β = 0,154$ dollari; il salto pronto $β / (β - ρ) = 1,18$ . La radice positiva è $ω = 0,01452 s^{- 1}$ e $T = 1 / ω = 68,9$ s. L'approssimazione $T ≃ (β - ρ) / (λ ρ) = 0,0055 / (8 \times 10^{- 5}) = 68,75$ s è eccellente. Per $ρ = 0,0035$ ( $0,54$ dollari): salto $2,17$ , $ω = 0,0928 s^{- 1}$ , $T = 10,8$ s (approssimata $10,7$ s). Per $ρ = 0,0078$ ( $1,2$ dollari, oltre la criticità pronta) $ω = 13,4 s^{- 1}$ e $T = 75$ ms $\approx Λ / (ρ - β) = 77$ ms: la potenza cresce di un fattore $e^{13}$ in un secondo, ingestibile.

Esercizio 8 (avanzato): momento di Mellin di una funzione di Kartvelishvili

Testo. Sia $D (z) = N z^{α} (1 - z)$ su $[0, 1]$ . Calcola i momenti $D_{N} = \int_{0}^{1} z^{N - 1} D (z) d z$ , la normalizzazione, $⟨ z ⟩$ e il valore medio dell'impulso pesato con $z$ .

Soluzione. $D_{N} = N \int_{0}^{1} (z^{N + α - 1} - z^{N + α}) d z = N [\frac{1}{N + α} - \frac{1}{N + α + 1}] = \frac{N}{(N + α) (N + α + 1)}$ . La normalizzazione a densità di probabilità ( $D_{1} = 1$ ) dà $N = (α + 1) (α + 2)$ . Quindi

⟨ z ⟩ = \frac{D_{2}}{D_{1}} = \frac{(α + 1) (α + 2)}{(α + 2) (α + 3)} = \frac{α + 1}{α + 3} .

Per $α = 10$ : $⟨ z ⟩ = 11 / 13 = 0,846$ . Se invece si considera la distribuzione di impulso $z D (z)$ come densità, la media vale $D_{3} / D_{2} = (α + 2) / (α + 4) = 12 / 14 = 0,857$ per $α = 10$ (verificato numericamente). Nota: la formula $(α + 2) / (α + 3)$ non corrisponde a nessuna di queste definizioni per $z^{α} (1 - z)$ (è la media di una densità $\propto z^{α + 1}$ senza fattore $1 - z$ ). Metodo alternativo: $z^{α} (1 - z)$ è una distribuzione Beta $(α + 1, 2)$ e la media di una Beta $(a, b)$ è $a / (a + b)$ , che dà lo stesso risultato.

Esercizio 9 (avanzato): fotone Compton

Testo. Un fotone da $662$ keV è diffuso a $90^{\circ}$ da un elettrone libero. Calcola lunghezze d'onda ed energie.

Soluzione. Con $h c = 1239,84$ eV nm $= 1,23984$ MeV pm: $λ = 1,23984 / 0,662 = 1,873$ pm. Lo spostamento a $90^{\circ}$ è $λ_{C} = 2,426$ pm, quindi $λ^{'} = 4,299$ pm e $E^{'} = 1,23984 / 4,299 = 0,288$ MeV. L'elettrone riceve $T_{e} = 662 - 288 = 374$ keV. Controllo: $E^{'} = E / (1 + \frac{E}{m_{e} c^{2}}) = 662 / 2,295 = 288$ keV.

Ricorda Prima di calcolare un $Q$ con masse atomiche verifica che gli elettroni si compensino; per i decadimenti $β^{\pm}$ e per la cattura elettronica serve contarli (argomento 8).

Attenzione Un valore di $E_{G}$ , $β$ o dei parametri della formula di massa può variare di qualche percento tra le raccolte: confronta sempre risultati ottenuti con lo stesso insieme. Non confondere le unità: MeV fm per $α ℏ c$ , u per le masse, secondi per le emivite.

Errori comuni

Usare l'emivita al posto di $λ$ nell'esponenziale: $e^{- t / T_{1 / 2}}$ è sbagliato, la forma giusta è $e^{- t \ln 2 / T_{1 / 2}}$ .
Dimenticare che $E_{0}$ del picco di Gamow è l'energia nel centro di massa, non quella del fascio nel laboratorio.
Applicare l'approssimazione $T ≃ (β - ρ) / λ ρ$ con $ρ \geq β$ .

Domande di verifica

Con gli stessi parametri dell'esercizio 1, quanto vale $B / A$ di $^{62}$ Ni ( $Z = 28$ , $A = 62$ )?
Risposta
$A^{1 / 3} = 3,958$ , $A^{2 / 3} = 15,67$ : volume $976,5$ ; superficie $- 278,9$ ; Coulomb $- 0,711 \cdot 28 \cdot 27 / 3,958 = - 135,8$ ; asimmetria $- 23,7 \cdot 36 / 62 = - 13,8$ ; appaiamento $+ 1,4$ ; $B = 549,4$ MeV e $B / A = 8,86$ MeV (misurato $8,7945$ , AME2020).
Quale sarebbe $d$ per una $α$ da $10$ MeV sull'oro?
Risposta
$d \propto 1 / T$ : $22,8$ fm.
Quanti nuclei restano dopo 3 emivite se ce ne sono $8 \times 10^{12}$ ?
Risposta
$8 \times 10^{12} / 8 = 10^{12}$ .

Riassunto

Formula di massa: $B (^{56} F e) = 495,4$ MeV; D–T: $Q = 17,59$ MeV.
Decadimento: $A = A_{0} e^{- λ t}$ ; equilibrio transiente con $t_{\max} = \ln (λ_{2} / λ_{1}) / (λ_{2} - λ_{1})$ .
Gamow D–T a 10 keV: $E_{G} = 1182$ keV, $E_{0} = 30,9$ keV, $Δ = 40,6$ keV; $d_{α A u} = 45,5$ fm.
Reattività: $ρ = 0,001 \Rightarrow T = 68,9$ s; Kartvelishvili: $⟨ z ⟩ = (α + 1) / (α + 3)$ .

Nel laboratorio:

Interazione	Simmetria	Mediatori	Carica
Elettromagnetica	U(1)	fotone γ	carica elettrica
Debole	SU(2)_L × U(1)_Y	W^±, Z	isospin debole e ipercarica
Forte	SU(3)_colore	8 gluoni	colore

	QED	QCD
Gruppo	U(1), abeliano	SU(3), non abeliano
Mediatori	1 fotone, neutro	8 gluoni, con colore
Autointerazione	no	sì (3 e 4 gluoni)
Accoppiamento	α ≈ 1/137	α_s(M_Z) ≈ 0,118
Alle alte energie	cresce	diminuisce
Alle basse energie	cariche libere	confinamento

Particella	Propagatore
Fermione di massa $m$	$\frac{i (γ^{μ} p_{μ} + m)}{p^{2} - m^{2} + i ε}$
Scalare di massa $m$	$\frac{i}{p^{2} - m^{2} + i ε}$
Fotone, gauge di Feynman	$\frac{- i g_{μ ν}}{q^{2} + i ε}$
Gluone, gauge di Feynman	$\frac{- i g_{μ ν} δ^{a b}}{q^{2} + i ε}$
Fantasma di Faddeev–Popov	$\frac{i δ^{a b}}{p^{2} + i ε}$
Bosone massivo $W$ o $Z$ , gauge unitario	$\frac{- i (g_{μ ν} - q_{μ} q_{ν} / M^{2})}{q^{2} - M^{2} + i ε}$

Fermione	$Q_{f}$	$∣ e Q_{f} ∣$ a bassa energia	$∣ e Q_{f} ∣$ a $M_{Z}$
$e, μ, τ$	$- 1$	0,3028	0,3134
$u, c, t$	$+ 2 / 3$	0,2019	0,2089
$d, s, b$	$- 1 / 3$	0,1009	0,1045

Scala	$α_{s}$	$g_{s}$	$g_{s}^{2}$
1 GeV	$\approx 0,5$ (indicativo, non perturbativo)	$\approx 2,5$	$\approx 6,3$
$M_{Z} = 91,19$ GeV	0,118	1,218	1,483
1 TeV	$\approx 0,089$ (un loop, $n_{f}$ che passa a 6 sopra $m_{t}$ )	$\approx 1,06$	$\approx 1,12$

Coppia	Canale di colore	Fattore	Effetto
$q \overset{ˉ}{q}$	singoletto $1$	$- \frac{4}{3}$	attrattivo
$q \overset{ˉ}{q}$	ottetto $8$	$+ \frac{1}{6}$	repulsivo
$q q$	antitripletto $\overset{ˉ}{3}$	$- \frac{2}{3}$	attrattivo
$q q$	sestetto $6$	$+ \frac{1}{3}$	repulsivo

Fermione	$T^{3}$	$Q$	$g_{V}$	$g_{A}$
$ν$	$+ \frac{1}{2}$	0	0,5	0,5
$e^{-}$	$- \frac{1}{2}$	$- 1$	$- 0,0376$	$- 0,5$
$u$	$+ \frac{1}{2}$	$+ \frac{2}{3}$	0,1917	0,5
$d$	$- \frac{1}{2}$	$- \frac{1}{3}$	$- 0,3459$	$- 0,5$

	$d$	$s$	$b$
$u$	0,974	0,225	0,0038
$c$	0,221	0,975	0,041
$t$	0,0086	0,041	$\approx 1$ (0,999 da unitarietà)

Fermione	$m_{f}$ (GeV)	$m_{f} / v$	$y_{f} = \sqrt{2} m_{f} / v$
top	172,5	0,7006	0,9908
bottom	4,18	0,01698	0,02401
tau	1,77686	0,007217	0,01021
charm	1,27	0,005158	0,007294
muone	0,105658	$4,291 \times 10^{- 4}$	$6,069 \times 10^{- 4}$
elettrone	0,000511	$2,075 \times 10^{- 6}$	$2,935 \times 10^{- 6}$

Vertice	Accoppiamento	Fattore di Feynman	Valore numerico	Scala
$γ f \overset{ˉ}{f}$	$e Q_{f}$	$- i e Q_{f} γ^{μ}$	$e = 0,3028$ ; $0,3134$	$Q \to 0$ ; $M_{Z}$
$g q \overset{ˉ}{q}$	$g_{s}$	$i g_{s} γ^{μ} t_{i j}^{a}$	1,218; $\approx 2,5$ ; $\approx 1,06$	$M_{Z}$ ; 1 GeV; 1 TeV
$g g g$	$g_{s}$	$g_{s} f^{a b c} [g^{μ ν} (k - p)^{ρ} + \dots]$	1,218	$M_{Z}$
$g g g g$	$g_{s}^{2}$	$- i g_{s}^{2} [f^{a b e} f^{c d e} (\dots) + \dots]$	1,483	$M_{Z}$
$W f f^{'}$	$g / \sqrt{2} V_{i j}$	$- i \frac{g}{\sqrt{2}} γ^{μ} P_{L} V_{i j}$	$g / \sqrt{2} = 0,461$	$M_{Z}$
$Z f \overset{ˉ}{f}$	$g / \cos θ_{W}$	$- i \frac{g}{\cos θ_{W}} γ^{μ} (T^{3} P_{L} - Q \sin^{2} θ_{W})$	0,743	$M_{Z}$
$W^{+} W^{-} γ$	$e$	struttura a tre bosoni, $\propto e$	0,313	$M_{Z}$
$W^{+} W^{-} Z$	$g \cos θ_{W}$	struttura a tre bosoni, $\propto g \cos θ_{W}$	0,571	$M_{Z}$
$h f \overset{ˉ}{f}$	$m_{f} / v$	$- i m_{f} / v$	top 0,7006; bottom 0,01698; $τ$ 0,007217	massa a riposo
$h W^{+} W^{-}$	$g M_{W}$	$i g M_{W} g^{μ ν} = i \frac{2 M_{W}^{2}}{v} g^{μ ν}$	52,5 GeV	$v = 246,22$ GeV
$h Z Z$	$g M_{Z} / \cos θ_{W}$	$i \frac{2 M_{Z}^{2}}{v} g^{μ ν}$	67,5 GeV	$v = 246,22$ GeV
$h h h$	$3 m_{h}^{2} / v$	$- i 3 m_{h}^{2} / v$	191,1 GeV	$m_{h} = 125,25$ GeV
$h h h h$	$3 m_{h}^{2} / v^{2}$	$- i 3 m_{h}^{2} / v^{2}$	0,776	$m_{h} = 125,25$ GeV

Grandezza	Valore
$Δ m_{21}^{2}$ (oscillazioni solari)	$\approx 7,5 \times 10^{- 5} e V^{2}$
$∣ Δ m_{31}^{2} ∣$ (oscillazioni atmosferiche)	$\approx 2,5 \times 10^{- 3} e V^{2}$
Massa dal decadimento beta (KATRIN)	$m_{β} < 0,45$ eV (90% CL)
Somma delle masse, cosmologia	$\sum m_{ν} ≲ 0,07$ – $0,12$ eV nel modello $Λ$ CDM; fino a circa $0,8$ eV con modelli estesi
Natura (Dirac o Majorana)	ignota
Gerarchia delle masse (normale o invertita)	ignota; favorita la normale, senza certezza

Spazio	Elemento di linea	$\sqrt{∣ g ∣}$
Piano, coordinate polari	$d r^{2} + r^{2} d θ^{2}$	$r$
Spazio, coordinate sferiche	$d r^{2} + r^{2} d θ^{2} + r^{2} \sin^{2} θ d φ^{2}$	$r^{2} \sin θ$
Sfera di raggio $a$	$a^{2} (d θ^{2} + \sin^{2} θ d φ^{2})$	$a^{2} \sin θ$
Minkowski	$d t^{2} - d x^{2} - d y^{2} - d z^{2}$	$1$
Schwarzschild	$(1 - r_{s} / r) d t^{2} - \frac{d r^{2}}{1 - r_{s} / r} - r^{2} d Ω^{2}$	$r^{2} \sin θ$

Termine	Significato
Indice libero	Compare una volta per termine; l'equazione vale per ogni suo valore.
Indice muto	Ripetuto in alto e in basso: si somma, il nome è irrilevante.
Controvariante	Indice in alto; si trasforma con $\partial x^{'} / \partial x$ .
Covariante	Indice in basso; si trasforma con $\partial x / \partial x^{'}$ .
Contrazione	Somma su un indice in alto e uno in basso; il rango scende di 2.
Metrica	Tensore simmetrico che misura lunghezze e tempi, e alza e abbassa gli indici.
Christoffel	Coefficienti della connessione; non sono un tensore.
Riemann	Misura della curvatura; zero in un sistema significa zero in tutti.
Segnatura	Segni degli autovalori della metrica: $(+, -, -, -)$ o $(-, +, +, +)$ .

Corpo	Asse	Momento d'inerzia
Asta di lunghezza $ℓ$	perpendicolare, per il centro	$M ℓ^{2} / 12$
Anello di raggio $R$	asse di simmetria	$M R^{2}$
Disco o cilindro pieno	asse di simmetria	$M R^{2} / 2$
Sfera piena	diametro	$2 M R^{2} / 5$
Guscio sferico sottile	diametro	$2 M R^{2} / 3$

Termine	Significato
Grado di libertà	Numero di parametri indipendenti che fissano la configurazione.
Vincolo ideale	Le sue reazioni non compiono lavoro negli spostamenti virtuali.
Coordinata ciclica	Non compare nella lagrangiana; il suo momento coniugato si conserva.
Asse di Mozzi	Retta dei punti con velocità parallela a $\vec{ω}$ in un atto di moto rigido.
Tensore d'inerzia	Lega velocità angolare e momento angolare: $\vec{K} = I \vec{ω}$ .
Modo normale	Oscillazione in cui tutte le coordinate vibrano con la stessa frequenza.
Spazio delle fasi	Spazio delle coordinate e dei momenti $(q, p)$ , di dimensione $2 n$ .
Trasformazione canonica	Cambio di variabili che conserva le equazioni di Hamilton.

Interpretazione	Idea centrale
Copenaghen	La funzione d'onda descrive la nostra conoscenza; la misura è un fatto primitivo.
Molti mondi (Everett)	Nessun collasso: ogni risultato si realizza in un ramo diverso dell'universo.
Onda pilota (de Broglie–Bohm)	Le particelle hanno traiettorie definite, guidate dall'onda; la teoria è non locale.
Collasso oggettivo (GRW)	L'equazione di Schrödinger va modificata: il collasso è un processo fisico spontaneo.
QBism e relazionali	Lo stato è relativo all'osservatore o alle sue aspettative.

Termine	Significato
Funzione d'onda	Ampiezza complessa il cui modulo quadro è una densità di probabilità.
Osservabile	Grandezza misurabile, rappresentata da un operatore hermitiano.
Autostato	Stato in cui un'osservabile ha valore definito.
Sovrapposizione	Combinazione lineare di stati; produce interferenza.
Commutatore	$[A, B] = A B - B A$ ; se è nullo le grandezze sono compatibili.
Spin	Momento angolare intrinseco, intero (bosoni) o semi-intero (fermioni).
Entanglement	Correlazione quantistica non riducibile a stati separati.
Decoerenza	Perdita delle relazioni di fase per interazione con l'ambiente.

Nome	Forma locale	Forma integrale
Gauss	$\nabla \cdot \vec{E} = \frac{ρ}{ε_{0}}$	$\oint_{S} \vec{E} \cdot d \vec{A} = \frac{Q_{int}}{ε_{0}}$
Gauss magnetico	$\nabla \cdot \vec{B} = 0$	$\oint_{S} \vec{B} \cdot d \vec{A} = 0$
Faraday	$\nabla \times \vec{E} = - \frac{\partial \vec{B}}{\partial t}$	$\oint \vec{E} \cdot d \vec{ℓ} = - \frac{d Φ_{B}}{d t}$
Ampère–Maxwell	$\nabla \times \vec{B} = μ_{0} \vec{J} + μ_{0} ε_{0} \frac{\partial \vec{E}}{\partial t}$	$\oint \vec{B} \cdot d \vec{ℓ} = μ_{0} I_{conc} + μ_{0} ε_{0} \frac{d Φ_{E}}{d t}$

Termine	Significato
Flusso	Quanto campo attraversa una superficie: $\int \vec{E} \cdot d \vec{A}$ .
Circuitazione	Integrale del campo lungo una linea chiusa.
Corrente di spostamento	Il termine $ε_{0} \partial \vec{E} / \partial t$ aggiunto da Maxwell.
Vettore di Poynting	Flusso di energia del campo elettromagnetico.
Gauge	Libertà di cambiare i potenziali senza cambiare i campi.
Permittività e permeabilità	Risposta del mezzo ai campi elettrico e magnetico.

Parte	Cosa mostra	A cosa serve
Riquadri in alto	Consegne, voto medio, esercizi	Il quadro della classe
Tabella	Per ogni numero di registro: voto, punti, esercizi, aiuti, errori, durata, ora	Il voto di ciascuno
Quadratini	Verde esatto, giallo in parte, arancio soluzione vista, rosso non risolto	Dove ha sbagliato
«risposte»	Le risposte date, con unità e ✓/✗	Capire l'errore
Esercizio per esercizio	Quanti l'hanno risolto e media dei punti	Cosa riprendere in classe

Esercizio	Punti al primo tentativo	Ogni errore
Problema base	100	−25
Problema intermedio	150	−37
Problema avanzato	200	−50
Problema d'esame	300	−75
Domanda a scelta multipla	50	vale 0

Problema	Soluzione
Ho perso il link dei risultati	Riaprilo da «Le tue raccolte» sullo stesso browser; altrimenti crea una nuova verifica.
«La raccolta è già attiva»	Usa il link salvato oppure premi Nuova verifica.
Lo studente legge «mostra il riepilogo»	Raccolta non attiva o rete assente: annota il risultato a mano.
Numero di registro sbagliato	«Togli questa consegna» nella pagina dei risultati, poi lo studente riconsegna.
«Questo nome è già in gara»	Aggiungere un numero o un'iniziale.
La rete della scuola non regge	Verifica stampata, oppure dati del telefono.

La corsa delle costanti di accoppiamento

α(Q) in QED e αs(Q) in QCD

Perché i quark restano attaccati

Campo tra due cariche, a distanza r

Potenziale quark–antiquark

Forza: Coulomb contro stringa

Simulazione su reticolo: SU(2) con loop di Wilson

Rapporto di Creutz χ(R,R)

−ln W(R,T) contro l'area R·T

Plaquette locali, piano x–y

Tensione di stringa al variare di β

Dalla reazione al diagramma, e ritorno

A · Reazione → diagrammi

B · Diagramma → reazione

Tabella delle particelle

Teoria

Il quadro: teorie di gauge

QED: elettrodinamica quantistica

QCD: cromodinamica quantistica

Costanti che corrono e libertà asintotica

Confinamento

QCD su reticolo

Diagrammi di Feynman

Problemi aperti

Yang–Mills e mass gap

Gravità quantistica

Il bosone di Higgs

Glossario e letture

Letture

Come si leggono le regole di Feynman

Dalla lagrangiana al vertice

Propagatori (impulso p o q)

Fattore di simmetria e ordine perturbativo

Esercizi

Vertici della QED

Valori numerici

Funzione beta e corsa di α

Esercizi

Vertici della QCD

I vertici

Fattori di colore

Valori numerici

Colore e potenziale tra due cariche

Esercizi

Vertici dell'interazione debole

I vertici fermionici

Valori numerici (schema MS‾ a MZ)

Schemi per sin⁡2θW

Matrice CKM

Vertici tra bosoni di gauge

Debole a bassa energia: la costante di Fermi

Esercizi

Vertici del bosone di Higgs

Vertice di Yukawa

Accoppiamenti ai bosoni vettori

Autoaccoppiamento

Esercizi

Tabella riassuntiva dei vertici

Cosa non esiste a livello albero

Neutrini: Dirac e Majorana

Massa di Dirac

Massa di Majorana

Meccanismo seesaw di tipo I

Come si distingue: doppio decadimento beta senza neutrini

Cosa si sa e cosa no

Esercizi

Appunti di lavoro

Diagramma di Minkowski e trasformazioni di Lorentz

Dilatazione dei tempi e contrazione delle lunghezze

Cinematica e dinamica relativistica

Effetto Doppler, aberrazione e paradosso dei gemelli

Campo di Schwarzschild: tempo, redshift e raggi caratteristici

Orbite e deflessione della luce

Il GPS: relatività ristretta e generale al lavoro

Onde gravitazionali da una binaria compatta

Cosmologia: espansione e distanze

Teoria: relatività ristretta

1 · Postulati, crisi dell'etere e trasformazioni di Lorentz

Esercizi

2 · Spaziotempo di Minkowski

α(Q) in QED e α_s(Q) in QCD

Propagatori (impulso $p$ o $q$ )

Funzione beta e corsa di $α$

Valori numerici (schema $\overline{M S}$ a $M_{Z}$ )

Schemi per $\sin^{2} θ_{W}$